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Das elliptische Integral der dritten Art mit imaginärem Parameter. 
C 8 ii 
J Cy 1 — k 2 sin 2 fi) n y 1 — k 2 sin 2 n 
8.« 
n - 2 2 -k 2 f 
n —1 1 -kV? 
(VT 
n — 3 r 
n — 1 !- k V (ViT 
k 2 s*n 2 ft)" -2 V^l — k 2 sin 2 fi 
8 fi 
k 2 sm 2 /() n ~ 4 VI-k 2 sm 2 ^ 
k 2 sin fi cos n 
(n — 1) (1 — k 2 ) (Vl — k 2 sw 2 fi)"~ l 
Daraus für n = 2: 
f — 3 = — L -ri fVl-Wsvntfiüp — 
J il — la 2 sin 2 uft * 
(110) 
k 2 sin (i cos fi 
(1-k 2 sin 2 fif J (1- k 2 ) Vl -k*sin z /i 
Damit haben wir gezeigt, dass das allgemeine Integral des §. 24 immer 
auf die (drei) elliptischen Integrale reduzirt werden kann. 
In dem allgemeinsten Falle aber sind in §.25, III—V die Grössen a und b (eine wenigstens) 
auch imaginär, so dass wir zuletzt auf ein elliptisches Integral der dritten Art mit imaginärem 
Parameter, d. h. auf das Integral 
8 fi 
A 
[!-)-(« -f- ß i) sin 2 /t] \f I — k 2 sin 2 fi 
kommen, wo A + B sin 2 ft = A (1 + — sin 2 fi) und T im allgemeinsten Falle die Form a-\-ßi 
A A 
haben kann. Da hier 1 (a + ßi) sin 2 fi nie Null wird, so kann man das Integral von 0 an 
nehmen und es bleibt uns also, wenn wir 
a -f- ß i = v {cos s + i sin s) 
setzen, noch zu zeigen, welches die Werthe von 
[<p, v {cos s + i sin s), k], [cp, v {cos s — i sin s), k] 
sind, da diese beiden Formen nothwendig in derselben Untersuchung verkommen. Mit Er 
ledigung dieser Untersuchung ist für uns die Theorie überhaupt erledigt. 
§. 26. 
Das elliptische Integral der dritten Art mit imaginärem Parameter. 
I. Ist 
sin fl COS ft 
(1 + « sin 2 fi) y 1 — k 2 sin 2 fi 
worin « eine (reelle) Konstante, so findet sich 
8 z 1 — (2 + a) sin 2 fi -+- (1 + 2 a) k 3 sin* fi — « k 2 sin r ' n 
8 f 1 (1 -f- a sin 2 fi) 2 (I — k 2 sin 2 fi) \/ l — k 2 sin 2 /< 
und wenn ß ebenfalls eine (reelle) Konstante: 
1 8j! 1 — (2-f-a) sm 2 -f- (1 -ß~ 2 a) k 2 sin* fi — ak 2 sin r ‘fi 1 
l-\- ßz 2 d fi (!-)-« sin 2 fi) 2 (1 — k' sin 2 fi) ß sin 2 /i (1 — sin 2 fi) y^ _ k 2 ¡i 
Da wir in der Aufgabe, die uns beschäftigt, füglich /j, zwischen 0 und^?r