Das elliptische Integral der dritten Art mit imaginärem Parameter. 
Ist aber (jp > ig, so läuft z, wenn fi von 0 bis xfj geht, von 0 bis GO; geht nun 
fi über tp hinaus, so springt z von GO zu — 0O und verläuft dann wieder stetig bis 
zu x. Jetzt ist also 
\it, so ist x — 0 und also die Grösse 
Wäre cp = xp, so hätte man offenbar 
Dass bei negativem ß die ganze Betrachtung nicht anwendbar ist, liegt klar 
vor, da jetzt sicher z nicht sein Zeichen wechseln, d. h. unendlich werden kann. 
(Yergl. VT.) Jetzt ist übrigens 
П 8z _ 1 г Zl+X V—p\ 
J ül+i?*® 2Y~^ß \1 — xУ^—ßJ 
W T ir wenden uns wieder, nachdem wir gezeigt haben, dass die zweite Seite in 
(111) immer bestimmt werden kann, zur eigentlichen Untersuchung. 
Ш, Wir suchen a, ß, у so zu bestimmen, dass identisch 
(1 + « sin 2 fi) 2 (1 — к 2 sin 2 /i) + ß sin 2 ft (1 — sin 2 /г) 
= [1 + r (cos s -f- i sin s) sin 2 fl] [I (cos 8 — i sin e) sin 2 fl] (1 У sin 2 fi) , 
was einfach durch Gleichsetzen der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von 
sin 2 fi geschieht. Da die zweite Seite ^tatsächlich reell ist, so fallen a, ß, у 
jedenfalls reell aus. 
Man erhält 
2 « — k 2 -+• ß — у -f- 2 v cos s, a 2 — 2ak 2 — ß = v 2 + 2 vy cos 8, — a 2 k 2 — v 2 y. 
Diese Gleichungen lassen sich auch in anderer Form darstellen. Durch 
Addition ergiebt sich aus ihnen 
й г + 2а + 1 — k 2 (a 2 + 2« + I) = r 2 + 2 vy cos8 + у + 2v cos8 -f- v 2 y + 1 , 
d. h. 
(a -f-1) 2 k' 2 = (v 2 -+- 2 v cos e -f-1) (1 -f- y). 
Multiplizirt man die erste mit k 4 , diezweite mitk 2 und addirt, so erhält 
man: 
— fk^ + yk 4 + 2rk 1 cos 8 — a 2 k 2 + v 2 k 2 -\-2vk 2 ycos e] = ßk 2 — /?k 4 , 
oder da 
— a 2 k 2 = v 2 у: (к 4 4- 2 v к 2 cos 8 + v 2 ) (k 2 + y) = —k 2 k‘ z ß. 
Man zieht hieraus, wenn man у und ß den zwei letzten entnimmt und 
in die erste einsetzt: