Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Variabein. 87 
' dy 
dx <p'(m) 
d 3 y cp'(u)ip"(u) — cp" (u) ty'(u) 
dx* cp’(u) 3 
d 3 y <p'{u) s 'ip'"(u)—3q>'(u)cp"(u)'ip’\u)-{-[3cp"(uy—icp'(u)cp'"(u)]ip'(u) 
cp’{uy 
dx 3 
l 
Damit wäre die vorgelegte Aufgabe gelöst; den Formeln 
(5) lässt sieb aber eine bemerkenswerte Gestalt geben, an der 
in der Folge festgebalten werden soll. Multiplicirt man in 
der ersten Gleichung Zähler und Nenner mit du, in der zweiten 
mit du 3 , in der dritten mit du 6 , .... und beachtet, dass 
cp'(u)du — drp(u) — dx, g>"(u)du 2 = d 2 (p(u) = d?x, . . ., so 
schreiben sich die Formeln (5) wie folgt 
dxd 3 y — d 3 xdy 
(6) Dly = 
dx 3 
dx 3 d 3 y — 3dx d*xd*y -f- [3d s ic 2 — dxd 3 x\dy 
dx h 
Die rechten Seiten dieser Gleichungen sind als wirkliche Quo 
tienten aus Differentialen anzusehen, und diese Differentiale 
beziehen sich auf eine beliebige, alle jedoch auf dieselbe unab 
hängige Variable. Diese Formeln (6) werden dann zur An 
wendung kommen, wenn in dem functionalen Zusammenhänge 
zwischen y und x die unabhängige Variable noch der freien 
Wahl überlassen bleiben soll. Entscheidet man sich für x, so 
ist dx als feststehende Grösse zu behandeln, in Folge dessen 
d 2 x — 0, d 3 x — 0,. . . zu setzen; dann führen (6) auf die 
Gleichungen 
n ^ T) 2 dfy tV __ d s y 
1)xJ dx’ 1)x dx 3 ’ J)x dx 
deren Inhalt ein formaler ist. Wählt man dagegen y als un 
abhängige Variable, vertauscht also die Rollen zwischen y und 
x, so gilt dy als feststehend und ist somit (Dy — 0, d 3 y = 0,...; 
führt man dies in den Formeln (6) ein und dividirt jedesmal 
Zähler und Nenner durch die entsprechende (1., 3., 5.,...) 
Potenz von dy, so kommt