104 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
durch Subtraction der ersten Gleichung von der zweiten er 
gibt sich 
f{x + h, y + ifc) — f{x, y + k) — f(x + h, y) + f{x, y) 
= Uxi x + ÖÄ, y + *) — /iO 7 + ÖÄ, 2/)] 
und weiter, wenn man auf die Differenz rechts den Mittelwert 
satz anwendet, 
(1) fix + Ä, y + fc) — /■(>, y + &) — /’(a + h, y) + /*(«, y) 
= hkf n (x-\-Qh, y-\-Q'k), (O<0'<1). 
Unter neuerlicher Anwendung des Mittelwertsatzes er 
hält man 
f(x, y + Ti) — fix, y) = kf 2 ix, y + Q"k), (0 < G"< 1) 
und wenn man diesen Ansatz mit x -f- h wiederholt, 
fi x + h, y + k) — ffx + h, y) = kf a ix + h, y + Q"k); 
durch Subtraction der ersten Gleichung von der zweiten er 
gibt sich 
fix + h, y + k) — fix + h, y) — f\x, y + fc) + f\x, y) 
= + Ä, y + Q"Tc) — f 2 {x, y + 0"Ä)], 
nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf der rechten 
Seite gibt schliesslich 
(2) fix + h,y + Tc) — fix + Ä, y) — fix, y + kj + fix, y) 
= khf n (x + 6"’h, y + e"7c), (0 <e"'< 1). 
Aus der Vergleichung von (1) und (2) geht hervor, dass 
es positive echte Brüche 0, 0', 0", 0"' gibt derart, dass 
f 12 {x + 0Ä, y -f Q'Tc) = -f 0"'Ä, y + 0"fc); 
sind nun f 12 i%,y), fni x >y) an der Stelle «/y stetige Func 
tionen von x, y, so führt die letzte Gleichung für gegen -f- 0 
convergirende h, k zu 
fu(?> V) = Ai Ob y), 
in andern Zeichen 
/g\ ¿j 2 # 
' ' dxdy dydx 
Existiren also an der Stelle x/y und in der durch die 
Intervalle ix — h, x -f- Ji), iy — 1c, y -f- Tc) gekennzeichneten 
Umgebung dieser Stelle die JDifferentialquotienten ^