en Grades 
Ä Vf^y'•); 
iche Zahl 
ide y> die 
Is variabel, 
man links 
lält so 
.) dw , 
“ ~di ' 
setzt man, 
rch u = x, 
lalquotienten 
\riabeln mit 
bildeten Pro- 
\mction. 
,t man 
h 
■- 2 9y 
Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Variabeln. 115 
d'ip 1 djp 1 > (hp ^ , cjp ^ Y x -f- ~[/y Yty. 
dx 2 Yx dy 2 Yy’’ > dx dy^ 2 2 ’ 
endlich (52, (2)) 
dl = V H = -. x . H r = 0 = 
dx x 2 -f- y 2 dy x 2 ~Y 2/ 2 ’ ' dy“ 
56. Die Hilfsmittel der Differentiation von Functionen 
einer und mehrerer Yariabeln, soweit sie bisher entwickelt 
worden sind, bedürfen noch einer wichtigen Ergänzung. Sie 
reichen zunächst nur dann aus, wenn die betreffende Function 
durch einen Ausdruck dargestellt ist, in welchem die Yariabeln 
unter einander und mit constanten Grössen durch eine end 
liche Folge der bekannten elementaren, algebraischen wie 
transcendenten, Operationen verbunden sind; man sagt in solchem 
Falle, die Function sei explicite und in endlicher Form gegeben. 
Es wird sich nun darum handeln, die Differentiation auch dann 
zu vollziehen, wenn die Function mit den Yariabeln durch 
eine Gleichung verbunden erscheint, welche nicht die eben 
gedachte Form hat, mit andern Worten, wenn die Function 
implieite gegeben ist. 
Es gibt allerdings Fälle, wo man die zweite Form auf 
die erste durch Auflösung der Gleichung zurückführen kann; 
aber nicht immer ist es vortheilhaft, diesen Weg einzuschlagen. 
Angenommen, f(x, y) sei eine in dem Gebiete P stetige 
Function und besitze dort stetige partielle Differentialquotienten 
in Bezug auf x und y, von welchen der letztere an keiner 
Stelle verschwindet; ferner erlange f(x, y) im Gebiete P den 
Wert c, jedoch nicht an einer oder mehreren einzelnen Stellen, 
sondern für alle Wertverbin düngen x/y, welche den Punkten 
einer das Gebiet durchziehenden Curve entsprechen; dann ist 
durch die Gleichung 
(7) f{x, y) = c 
y implieite als stetige Function von x definirt, und zwar für 
ein gewisses Intervall (a, ß) von x. Wäre y = cp(x) diese 
Function in expliciter Form, so müsste die Einsetzung von 
(p{x) an Stelle von y die Gleichung (7) identisch, d. i. für 
jeden Wert von x aus («, ß) erfüllen. 
In diesem Sinne ist die linke Seite von (7) als zusammen- 
8*