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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
welche endliche Summen von Gliedern der Reihe (5) dar 
stellen, bezeichnet man als Partialsummen dieser Reihe. 
Zeigen die Partialsummen ein anderes Verhalten, als es 
hier beschrieben worden, so wird die unendliche Reihe diver 
gent genannt. Welche Erscheinungen eine divergente Reihe 
aufweisen kann, werden die nachfolgenden Betrachtungen so 
gleich lehren. 
Der directe, allerdings nur selten betretbare Weg zur 
Untersuchung einer Reihe auf ihre Convergenz oder Divergenz 
besteht in der Bildung der allgemeinen Partialsumme s n und 
ihrer Prüfung für ein unbegrenzt wachsendes n. Zwei Bei 
spiele werden dieses Verfahren erläutern und zugleich die ver 
schiedenen Formen der Divergenz kennen lehren. 
1) Es sei x eine reelle Zahl und a { = x l ; die hieraus 
entspringende Reihe 
(6) = 1 -{- x -f- ir 2 -f- * • • 
o 
ist die unendliche geometrische Progression; ihre allgemeine 
Partialsumme 
Sn = 1 + X + H f- X n = 
zeigt nun folgendes Verhalten: a) Für \x \ <. 1 convergirt 
x n + 1 mit beständig wachsendem n gegen Null, s n gegen - - ? 
die Reihe (6) ist convergent und hat den Grenzwert 
l 
ß) Für x > 1 wächst x n + x und auch s„ über jeden positiven 
Betrag hinaas, der Grenzwert von s n ist -|-oo und die Reihe 
(6) divergent, y) Ist x < — 1, so wächst x n + x und damit 
auch s n dem Betrage nach über jede positive Zahl hinaus, 
wechselt aber beständig sein Vorzeichen, da der Exponent ab 
wechselnd gerad, ungerad ist; die Reihe (6) ist divergent und 
man sagt, sie schivanke zwischen —oo und -f-oo. Ö) Für 
x = 1 verliert der Ausdruck für s n seine Bestimmtheit; in 
dessen lässt die Reihe selbst, welche nun lautet 1 —f- 1 —f- 1 —( , 
ihre Divergenz unmittelbar erkennen, und zwar ist ihr Grenz-