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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
nähern sich daher die Zahlen s 0 , s 1} s 2 , . , . einer Grenze s, so 
nähern sich die Zahlen s t ', s.,', s s ', . . . der Grenze s — s n . Zu 
folge des Satzes (7) ist der absolute Betrag des Grenzwertes 
r n von (9) kleiner als £, sobald n > m. Man nennt r n den 
Best der bei dem n-j- Iten Gliede a n abgebrochenen Reihe (5). 
Es lässt sich also, wenn die Reihe convergent ist, zu einem 
beliebig klein festgesetzten s eine natürliche Zahl m derart 
bestimmen, dass 
1 r n | < £ , 
wenn w > m ist. Dadurch, dass man statt des Grenzwertes s 
die Partialsumme s m oder eine höhere nimmt, wird ein Fehler 
begangen, dessen Betrag höchstens s ist. 
Auf dieser Eigenschaft beruht die Anwendung der con- 
vergenten Reihen in der Analysis zur Darstellung von Zahlen; 
ferner ist es vermöge derselben bei der Untersuchung einer 
Reihe auf Convergenz gestattet, beliebig viele Anfangsglieder 
ausser Acht zu lassen, was von Wichtigkeit ist, wenn dieselben 
Unregelmässigkeiten zeigen. 
8) Besteht die Reihe a 0 -j- a x -f- a 2 -f- • • • aus lauter 
positiven Gliedern und ist sie convergent, so ist auch jede 
Reihe, welche aus ihr durch Unterdrückung einer endlichen 
oder unendlichen Anzahl*) von Gliedern oder durch beliebige 
Zeichenänderung an den Gliedern entsteht, convergent. Denn 
die Relation (7), wenn sie für die ursprüngliche Reihe be 
standen hat, kann durch einen solchen Vorgang nicht auf 
gehoben werden, sie besteht vielmehr im Allgemeinen für die 
abgeänderte Reihe nur noch in verstärktem Maasse. 
70. Aus dem Begriffe der Convergenz und Divergenz 
lassen sich die folgenden Sätze erweisen: 
co 
1) Ist die Reihe üj convergent und s ihr Grenzwert, 
o 
so ist auch die mit Hilfe eines bestimmten von Null verschie- 
co 
denen k gebildete Reihe k a it konvergent und ks ihr 
Grenzwert. 0 
*) Z. B. durch Weglassung aller Glieder mit geradem oder mit 
ungeradem Zeiger o. dgl.