Vierter Abschnitt. Reihen. 
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(16) 1 a 0 1 + i % I + | tt 2 I + ' • • 
die Reihe aus den absoluten Werten der Glieder von (15), 
welche als convergent vorausgesetzt wird, <5 ihr Grenzwert, 
<S n ihre allgemeine Partialsumme; ferner seien cc 0 , cc l7 cc 2 ,. . . 
die Indices der positiven Glieder in der Ordnung, in welcher 
sie in (15) auftreten, und ebenso ß 0 , ß 1} ß 2 , ■ ■ ■ die Zeiger 
der negativen Glieder; dann sind die Reihen 
(17) a ao -f- a Ul -f- a a2 -j- • ■ ■ 
(18) I a ßo I + 1 % I + I % I + ''' 
beide nothwendig convergent; denn jede geht aus der conver- 
genten Reihe (16) durch Unterdrückung eines Theiles der 
Glieder hervor (69, 3)). 
Die Partialsumme s n von (15) umfasse positive Glieder 
bis zum Zeiger cc U) negative Glieder bis zum Zeiger ß v ; wer 
den die bis zu diesen Gliedern reichenden Partialsummen von 
(17) und (18) mit beziehungsweise Uß v bezeichnet, so ist 
(19) s n = t Ufi Uß v ; 
wächst nun n unaufhörlich, so nehmen auch die Gliederzahlen 
der rechtsstehenden Partialsummen beständig zu und über 
schreiten nach und nach jede natürliche Zahl; demnach nähern 
sich für lim n = -j- oo t a Up v den Summen f, u der Reihen 
(17), (18), so dass 
(20) s = t — u. 
Damit ist der erste Theil der Behauptung erwiesen. Der 
zweite Theil ergibt sich daraus, dass t, u ungeändert bleiben, 
wenn man die Glieder in (17) und (18) anders anordnet 
(71, 2)); demzufolge hängt auch s nicht ab von der Anord 
nung der Glieder in der ursprünglichen Reihe (15). 
Eine absolut convergente Reihe weist also wie eine Reihe 
aus positiven Gliedern das Merkmal einer endlichen Summe 
auf, von der Anordnung der Glieder unabhängig zu sein; daher 
kann auch der Grenzwert einer solchen Reihe als Summe der 
selben bezeichnet werden. 
74. Eine Reihe aus positiven und negativen Gliedern 
kann aber auch convergent sein, ohne dass es die Reihe aus 
den absoluten Werten ihrer Glieder ist; man nennt die Reihe 
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