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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
Wenn in einer alternirenden Reihe die absoluten Beträge 
der Glieder beständig abnehmen und schliesslich gegen die Grenze 
Null convergiren, so ist die Reihe convergent. 
Es sei für jedes i ai > 0 und 
(22) ££ 0 — a ± -j- ££ 2 — •*•-)- (— l) ra ££n -{-••• 
die gegebene Reihe; ferner a 0 >%>%>••• und lim a n = 0. 
Ans der Darstellung x - 
S%P— 1 — (ßo ££l) -j- (ß2 %) -j“ ' • • -fr (ßip — 2 U2p—i) 
folgt, dass s$p x als Summe positiver Zahlen mit p wächst, 
dass also die Partialsummen 
(23) s 1} s 3 , s 5 .. . 
eine steigende Reihe bilden. 
Aus den beiden Darstellungen 
$2p = ££o — (ßx — £*2) — (fts — ££4) — • ’ • — (ß2p— 1 — £*2p) 
= (ßo — ££1) “f" (ß2 — ££3) H" * * • “f" {ßip—2 — £^2p—1) a %p 
folgt, und zwar aus der ersten, dass s% p mit p beständig ab 
nimmt, aus der zweiten, dass es immer positiv ist, dass also 
die Partialsummen 
(24) s 0 , s 2 , s 4 , • • • 
sämmtlich positiv sind und eine fallende Reihe bilden; diese 
muss daher nothwendig einen Grenzwert besitzen, der s" 
heissen mpge. 
Da aber 
$2p = S2p_i -f- p, 
so ist 
S%p—1 — S%p ££2 p &2p So — ££q j 
es bleiben also die Zahlen der steigenden Reihe (23) unter 
einer festen Zahl, somit besitzt auch diese Reihe einen Grenz 
wert, er heisse s'. 
Weil jedoch 
S%p S2p—1 ££2p j 
so ist für limj) = 00 
lim (s 2 p —- s 2p —1) = lim a 2p = 0, 
also lim S2 P = s" = lim S2 P —x = s', d. h. die beiden Reihen 
(23) und (24) convergiren gegen denselben Grenzwert s, die 
erste wachsend, die zweite abnehmend, so dass