Vierter Abschnitt. Reihen. 
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den Grenzwert — oo hat. 
77. Die Untersuchung unendlicher Producte führt auf die 
Betrachtung unendlicher Reihen zurück. 
Ist 
(29) 
«0 7 7 ^2 
eine unbegrenzt fortsetzhare Folge reeller Zahlen, deren keine 
Null ist, und bildet man aus ihr die neue Folge 
(30) 
Pü7 Il7 P2 7 " " ' 7 
indem man 
Po ~ a o 7 Pi ~ a o a i 7 Pz = a o a i a 2 7 ’ ‘ ‘ 
nimmt, so ist auch kein Glied dieser neuen Folge gleich Null; 
man sagt dann, das unendliche Product 
00 
(31) 
0' 
sei convergent, wenn p n mit beständig wachsendem n einer 
bestimmten von Null verschiedenen Grenze sich nähert; diese 
Grenze 
lim p n =p 
nennt man den Grenzwert des unendlichen Productes. In jedem 
andern Falle heisst das Product (81) divergent. Die Producte 
(30) von [1], 2, 3, . . . Factoren belegt man mit dem Namen 
Partialproducte. 
Da das Vorzeichen des Productes aus der (endlich vor 
ausgesetzten) Anzahl der negativen Factoren im voraus be 
stimmt werden kann, so darf man sich blos mit dem absoluten 
Werte des Productes befassen und daher alle Factoren (29) als 
positiv voraussetzen. Dann folgt aus 
l. Pn == 1. Uq -\- l. U\ l. u n 
sofort, dass die hinreichende und nothwendige Bedingung zur 
Convergenz des Productes (31) in der Convergenz der Reihe 
l. Uq —{— l. -j— l. $2 -f- ■ * ’ 
gelegen ist; denn ist diese Reihe convergent und s ihr Grenz 
wert, so ist es auch das Product und e 8 sein Grenzwert; ist 
die Reihe divergent, so ist es auch das Product.