Vierter Abschnitt. Reihen. 
173 
Pn — 1 “f" «0 “f" «1 “f* «2 ~f" * * * -f- &n 4" $7 
wo S die Summe der durchwegs positiven Producte der 
Uq, ai,... ct n zu zwei, drei, , . . n Factoren andeutet, folgt 
Pn ^ 1 -f— 6n ; 
wenn <s n = a 0 + «i + * • * + a n • Ist nun '^ccj divergent, 
o 
so wächst 6 n mit n über jeden positiven Betrag (71, 1)), somit 
ist lim p n — -j- oo. 
« = + OO 
Dadurch ist der zweite Theil der Behauptung, zugleich 
QO 
aber auch erwiesen, dass die Convergenz der Reihe 2 ec,- eine 
o 
nothwendige Bedingung der Convergenz des Productes ist. 
Dass diese Bedingung auch ausreicht, ergibt sich auf folgende 
Weise. ^ 
Vermöge der Convergenz von 2 Ui lässt sich der Zeiger 
n so bestimmen, dass 0 
«w+1 -f" «w +2 + • • • + a n + r <C d <C 1 
für jedes r; da nun 
(1 -f- « w + i)(l -f- «99+2) * * • (1 -f" Kn + r) 
~ 1 “h «m +1 «w +2 "f" • ' ’ -f- «m + r + ^2 + ^3 + * ' • + , 
wo 27 3 , 2J 3 , ...2 r die Summen der Producte der ce n + x , 
ccn+r zu zwei, drei, . .. r bedeuten und da ferner 
^2 <C(«m +1 ’ ■ ■ -f" a n + r) 2 , ^3 < («n + l -(-•’• + «ra + r) 3 , ' • • 
Z! r < («M + l + * • • + «7l + r)' , 
so ist für jedes r aus der natürlichen Zahlenreihe (68, 1)) 
(l + «w+i)(l + a «+2)"'(l+ i M->-) < 1 + 2 + ?rH h Q' r < pv: 
somit auch 
n-\-r 
+ ca) < für jedes r; 
daraus folgt die Convergenz der Reihe l. (1 -J- K d ( 71 ? 1)) 
o 
und aus dieser auf Grund der vorausgeschickten Erörterung 
CO 
auch die Convergenz des Productes № + *).