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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
deren Glieder complexe Zahlen sind, als convergent, wenn es 
eine complexe Zahl s gibt derart, dass die Partialsumme s n 
aus den n -}- 1 ersten Gliedern von (35) sich ihr bei unbegrenzt 
wachsendem n als Grenze nähert, so dass lim s„ = s; die 
n=-j-oo 
Zahl s bezeichnet man als Grenzwert der Reihe (35). Es lässt 
sich nun der folgende Satz erweisen: 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Con- 
co 
vergenz der Beihe ^\a¿ besteht in der Convergenz der Beihe 
aus den reellen Bestandtheilen und der Beihe der Coefficienten 
von i in den aufeinanderfolgenden Gliedern a 0 , a x , a 2 .. 
Ist nämlich a n =.a n -f- ß n i , s = <? -f- ri, sind ferner 
6 n , x n die Partialsummen aus den n 1 ersten Gliedern der 
reellen Reihen 
(36) « 0 + «i +, « 2 4 
(36 *) ß 0 + ßl + ßi + • • • ; 
so ist 
s n — -f- -f- • • • -f- a n = 6 n -f- t n i 5 
soll nun s der Grenzwert von s n für lim n —-f- oo sein, so 
muss sich zu einem positiven beliebig kleinen e eine natür 
liche Zahl m derart bestimmen lassen, dass 
(37) | s n — s | = | {p n — 6) -f- (t n — r) i | < £ 
ist für jedes w > m, wobei der absolute Wert einer complexen 
Grösse im Sinne von 6, d. i. als Modul derselben zu verstehen 
ist; denn eine veränderliche complexe Zahl kann nicht anders 
der Grenze Null sich nähern, als dass dies der reelle Theil 
und der Coefficient der imaginären Einheit, jeder für sich, 
thut; dann aber nähert sich auch der Modul der Grenze Null, 
da er die positive Quadratwurzel aus der Quadratsumme der 
beiden genannten Zahlen ist. Statt also zu verlangen, die 
complexe Zahl s n — s selbst convergiré gegen die Grenze Null, 
kann man diese Forderung in Bezug auf ihren absoluten Wert 
oder Modul stellen; dies ist aber der wesentliche Inhalt der 
Relation (37). 
Da nun 
I {pn — (?) -f- (r„ — r)i | = | yipn (j) 2 + Jtn t) 2