Vierter Abschnitt. Reihen. 
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wird die Wahrnehmung gemacht werden, dass das Unstetig 
werden des Grenzwertes und ungleichmässige Convergenz der 
Reihe neben einander hergehende Erscheinungen sind. 
81. Beispiele. 1) Die Reihe 
sin# , sin 2# , sin3# , 
D ' —2* ' + • • • 
ist für alle Weide von x absolut und gleichmässig convergent. 
Denn es ist die Reihe 
I* + j» + Y* 4 
convergent (72, 4)), in Folge dessen auch die Reihe 
| sin x] 
1* 1 2 S 
weil ihre Glieder im Allgemeinen kleiner, in keinem Falle 
grösser sind als die correspondirenden Glieder der vorangehen 
den (72, 1)). Dadurch ist die absolute Convergenz erwiesen. 
Aus der Convergenz der Yergleichsreihe folgt, dass sich 
eine natürliche Zahl m bestimmen lässt derart, dass 
1 _j_ 1 i 1 i 
I I™ ~ ( m _1_ o\2 I 
(« + l) 2 1 (n -f 2) 2 1 (n + 3y 
für jedes w > m\ da nun für jedes x 
-\-l)x , sin (w-(-2) # | 
1 ' !m _J_ T 
(«+1) 2 1 (n-f 2) : 
so ist auch für jedes X 
sin (n-\-l)x 
< 
{n -f i) s 
< £ 
4" (w + 2) 2 + 
* 
i sin (n -}- 2)# , 
“1 _J_ <A2 T" 
< £ , 
{n -\- l) 2 1 (n-f-2) 2 
sobald damit ist die gleichmässige Convergenz dar- 
gethan. 
2) Aus den Functionen 
= 1, v 1 = x, v 2 = ir 2 , . . . 
bilde man nach Vorschrift von 68, 2) die Reihe 
K — v i) + i v i ~ v z) + ( v 2 — *>s) H , 
d. i. 
(1 — X) -f- (1 — x)x -f- (1 — x) x 1 -f- • • ■, 
welche nach den dortigen Ausführungen convergent ist, wenn 
lim v n eine bestimmte Zahl v entspricht, und zwar ist dann 
i» =—|— 00 
v a — v ihr Grenzwert. Nun aber hat v n — x n nur dann