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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
1 -f- 1 • x -{- 1 • Zx 2 -f- 1 • 2 • 3x 3 -(-•••, 
a n i > 
weil lim = lim—¡—- = 0: ein Beispiel der zweiten Art 
a . , w -4- 1 7 x 
®n+l 
die Reihe 
a n-1-1 
Art die Reihe 
a n 
weil lim = lim (n -j- 1) = -f- oo 5 ein Beispiel der dritten 
/y> /y>2 /y>3 
«A/ tX/ | «X/ 
1 Y "t“ 3' 
+ 
Convergenzintervall ist; an den Grenzen dieses Intervalls zeigt 
die Reihe ein verschiedenes Verhalten: sie ist für x — + 1 
bedingt convergent (76, 1)), für x —— 1 divergent (72, 1)). 
84. In die Natur der Convergenz der Potenzreihen führen 
die von Abel hierüber angestellten Untersuchungen ein, deren 
Ergebnis in zwei Sätzen zusammengefasst werden kann. Der 
erste dieser Sätze lautet: 
Wenn die absoluten Werte der Glieder einer Potemreihe 
(9) für einen Wert x = X der Variabein insgesammt unter 
einer Grenze k bleiben, so ist die Reihe absolut convergent für 
jeden Wert von x, für welchen \ x | < ( X \. 
Nach Voraussetzung ist für jede natürliche Zahl n 
a n X n | < j1, 
folglich 
d. h. die Glieder der Reihe 
I «01 + K«i + K^ 2 H— 
(10) 
sind kleiner als die correspondirenden Glieder der geometri 
schen Reihe 
x . x 2 
x + x x + * x H 5 
diese ist convergent, wenn < 1, also wenn |#|<|Xj; 
dann ist auch die Reihe (10) convergent (72, 1)) und somit 
die Reihe (9) absolut convergent (74).