Vierter Abschnitt. Reihen. 
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valls selbst kann die Reihe verschiedenes Verhalten zeigen; sie 
kann unbedingt oder bedingt convergent, sie kann aber auch 
divergent sein (s. letztes Beispiel in 83). Für die Einbeziehung 
der Grenzen des Convergenzintervalles ist nun der folgende 
Abel’sehe Satz von Wichtigkeit: 
Ist die Potenzreihe (9) für x — ß convergent, so ist sie in 
jedem Intervalle (a, ß), dessen untere Grenze dem absoluten 
Werte nach' Meiner ist als \ ß \, mit Einschluss der Grenzen 
gleichmässig convergent und stellt somit eine in dem Intervall 
(a, ß) stetige Function von x dar. 
Es genügt , den Beweis blos für das Intervall (0, ß) 
respective (ß, 0) zu führen, je nachdem /3>0 oder ß<0; 
denn für (u, 0), respective (0, k), wo \a\<\ß\, besteht die 
gleichmässige Convergenz schon auf Grund von 84, 3), 1). 
Setzt man 
(11) r n {ß) = a n+1 ß n + x + a n+ zß n +*-\ , 
so lässt sich der Voraussetzung und dem Begriff der Conver 
genz gemäss (69) zu einem beliebig klein festgesetzten posi 
tiven s eine natürliche Zahl m so feststellen, dass alle Partial 
summen von (11), welche mit 
7 ^2 7 ^3 7 ’ * * 
bezeichnet werden mögen, dem Betrage nach kleiner sind als £, 
sobald nur n > m. Nun ist 
a n+1 ß n + x -f- a n+2 ß n + 2 -( (- a n+p ß n +P 
= Öi + (<?2 — öl) + ■ • * + (öjo — öp_i); 
multiplicirt man die aufeinander folgenden Glieder dieser p 
Glieder umfassenden Summe mit positiven, dem Betrage nach 
abnehmenden Zahlen 
(1^) 6-l , 0 2 , • • • 0p , 
so entsteht die Gleichung 
a n+1 ß n +ie i -f a n+2 ß n + 2 Q 2 H (- a n+p ß n +PQ p 
— öl 01 -j- (Ö2 Öx)02 —J— * - - —j— (öp Öp — j) 0p 
= öi(0i— 0 2 ) -j- ög(02 — ös) -j- • * * -j- öp—i (öp—i — 0p) -f- öp0p ; 
aus der zweiten Form der rechten Seite, in welcher der Vor 
aussetzung gemäss 0 X — 0 2 , 0 2 — 0 3 , . , . 0p_i — Q p , 0p positive