Vierter Abschnitt. Reihen. 
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ist conyergent in dem Intervalle (—1, +1) und auch an der 
oberen Grenze desselben (83); daher ist, wenn f(x) den Grenz 
wert dieser Reihe bezeichnet, so weit sie convergirt, auch 
i-ij-i . 
1 2 ' 3 
m- 
Die Reihe 
1 x x* • 
hat, so lange sie convergirt, d. i. für \x \ < 1, den Grenzwert 
f(x) — ; derselbe ist auch für x — — 1 stetig und doch 
darf nicht 
T-h-i + i 
gesetzt werden, weil die definirende Reihe an der Grenze x — — 1 
nicht mehr convergirt. 
Die Reihe des ersten Beispiels ist zugleich ein Beleg 
dafür, dass man bei einer Potenzreihe, welche gerade und un 
gerade Potenzen von x enthält, aus der Convergenz für x — ß 
nicht auch auf die Convergenz für x = — ß schliessen darf; 
bei einer Reihe, welche nur gerade oder nur ungerade Potenzen 
enthält, ist dieser Schluss immer zutreffend. 
86. Für jeden Wert von x, für welchen die Potenzreihe (9) 
a 0 + a x x + a. 2 x 2 + ••• 
absolut convergent ist, ist auch die aus den Differentialquotienten 
der einzelnen Glieder gebildete Beihe 
(14) la 1 -j- 2 a 2 x + 3a 3 x 2 -f- • • • 
absolut convergent. 
Existirt nämlich für die Reihe (9) der Grenzwert 
| 
und heisst er A, so ist diese Reihe absolut con- 
lim 
n=-\- CO 
l n-fl 
vergent für alle Werte innerhalb des Intervalles (—A, -{- A) (83). 
Bezeichnet man aber die Coefficienten der Reihe (14) mit 
A | 
d-l 7 -^2 7 ^3 7 • • * 7 
A. 
so ist 
n 
n-f- 1 
nach 
Si+i 
n-f-1 
denselben Grenzwert wie 
7 es hat dem- 
l n+1 
l n +1 
und die Reihe 
(14) ist demselben Satze zufolge absolut convergent für die 
nämlichen Werte von x wie (9). 
Czuber, Vorlesungen. I. 13