Vierter Abschnitt. Reihen. 
195 
13 
diese die Reihe (9) convergcnt ist, darf auf die Convergenz 
der Reihe (14) nicht geschlossen werden. So ist die Reihe 
y» /y»2 /w3 
_ _i_ x „ j 
l 2 ' 2 ä ' 3 2 i 
auch an den Grenzen —1, -j-1 ihres Grenzintervalls und 
zwar absolut convergent, die aus ihr nach Vorschrift von (14) 
gebildete Reihe 
1 
1 
+ V + 
ist an der unteren Grenze bedingt convergent, an der oberen 
aber divergent. 
Durch wiederholte Anwendung des an die Spitze dieses 
Artikels gestellten Satzes ergibt sich die folgende Thatsache: 
Die aus einer Potenzreihe 
(9) Uq -|— UyX —(— a 3 x 2 ~f” ■ * ■ 
durch wiederholte gliedweise Differentiation abgeleiteten Potenz 
reihen 
(15) 
1 aj —f- 2 $2 x —(— 3 a 3 x 2 —f- • • • 
2 • la 2 + 3 • 2a 3 x -f- 4 • 3a±x 2 + ••• 
n (w-l) •• 1 a n -f-(w+1) n ••• 2 a„ + i x+(»+2) {n-f-1) ■ • 3 x 2 + • 
sind innerhalb desselben Intervalls convergent, innerhalb dessen 
die ursprüngliche Reihe convergirt, und defniren eine unbegrenzte 
Folge in diesem Intervalle stetiger Functionen. 
87. Die Bedeutung dieser Functionen wird sich auf Grund 
des folgenden, für die Analysis wichtigen Satzes ergeben: 
Ist f(x) eine durch eine convergente Potenzreihe definirte 
Function, so lässt sich f(x -f- h), sofern auch x -f- h dem Con- 
vergenzintervall angehört, durch eine nach h fortschreitende Potenz 
reihe darstellen. 
Es sei also 
(16) f(x) = a 0 a x x -j- a 2 x 2 + • • • + a n x n -{-••• 
und die Reihe convergiré für alle Werte von x, welche dem 
Betrage nach kleiner sind als |X(; sei x ein solcher Wert 
und h so bestimmt, dass