196 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
(17) . 
so dass also .x\ -f- \ h\ und somit auch j x -(- h | dem Con- 
vergenzintervall angehört; dann gilt auch 
(18) f(x-j-K) = ft 0 -j - (x-\-Ji)-f-u 2 (_ x "f"T^f ~f~(x n (x-\-K) n -f-•••. 
In dieser Gleichung werde x als ein fester Wert und h als 
Variable angesehen; dann ist die absolute Convergenz der 
Reihe (18) für alle Werte von h, welche der Bedingung (17) 
genügen, feststehend; man darf daher die einzelnen Glieder 
durch die Gliedergruppen, welche sich nach Ausführung der 
Potenzen von x-\-h ergehen, ersetzen und die Glieder beliebig 
umstellen und zusammenfassen, insbesondere diejenigen mit 
gleichen Potenzen von h vereinigen; denn alle diese Operationen 
sind vermöge 71, 3) und 2) an der aus (18) abgeleiteten Reihe 
I % \ + I tt l i ( I X I + 1 ^ 1) + 1 a 2 I (I X 1 + 1 ^ l) 2 + ‘ • ‘ 
gestattet, folglich auch an (18) selbst. Nach Ausführung der 
selben ist 
(18*) f(x —(— Ji) = u 0 -{- U-J'i -f- -j- • • • -j- u n h n -)— • • • 
und zwar ist 
U 0 = (Iq -f- x —)— <x 2 x? —|— • • • 
U 1 — (J a i + ( t ) a 2 X + (j) a $ X% + - ' 
= — (.1 -j- 2 u 2 x -j - 3 ¿Tg x 2 —)— • • •] 
= ( 2 ) a '2 H“ (2) V + (2) a ± Xl ‘ ’ 
= [2 • la 2 -J- 3 • 2a 3 x -f- 4 • 3 a±x 2 + • • •] 
Un = 0 an + (” 10 a *+ lX + { n t 2 ) a *+ 2X2 h— 
_ 1 \n{n — 1) • • • la n -)- (n -(- 1) n ■ ■ • 2a n +iX 
“h (w -j- 2)(w -f- 1) • • • 3a„-|_2^ 2 -}-•••]■ 
Es ist also u 0 = f{x) und u 1: u 2 , . . . u n ,. . . sind die durch 
die Factorieilen von 1, 2, n, .. . beziehungsweise dividirten 
Grenzwerte der Reihen (15), welche als gleichzeitig conver- 
girend mit der Reihe (9) erwiesen worden sind.