Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Aus (18*) folgt hiernach zunächst 
f{X -f h) — f{x) . 7 . . 7 l! , 
h — u i “h ~h • • • -f“ u n ä”+ 1 -j- • • •, 
wobei die Reihe rechts für dieselben Werte von h absolut 
und gleichmässig convergent ist wie (18), d. i. für Werte, 
welche der Bedingung (17) genügen. Lässt man nun h gegen 
die Grenze Null convergiren, so convergir! die rechte Seite 
gegen den Wert u t (84, 3)), die linke aber hat zum Grenz 
werte den Differentialquotienten der Function /*(#); mithin ist 
f(x) = u x — la x -f- 2a 2 x -j- 3a 2 x 2 -(-••• 
Dadurch ist aber auch die Bedeutung aller übrigen Reihen in 
(15) gegeben, da jede folgende aus der vorangehenden ebenso 
abgeleitet ist, wie die erste aus der Reihe (9); es ist also 
f'(x) = 2 • la 2 -f- 3 • 2a 3 x -f- 4 • 3a 4 x 2 -(-••• 
f n (x) = n{n — 1) • • • la n + (n -f- 1 )n ■ ■ ■ 2a n+1 x 
+ (n + 2)(n +!)••• 3a n+2 x 2 + • • •. 
Dieses Ergebniss fassen wir in dem Satze zusammen: Die 
durch n- malige gliedweise Differentiation einer convergenten Po 
tenzreihe entstandene Potenzreihe hat für alle Werte von x inner 
halb des gemeinsamen Convergenzintervalls beider Reihen zum 
Grenzwerte den n-ten Differenticdquotienten des Grenzwertes 
der ursprünglichen Reihe. Man spricht es kurz dahin aus, eine 
convergente Potenzreihe werde differentiirt, indem man sie 
gliedweise differentiirt, also wie eine endliche Summe von 
Functionen behandelt. 
Hiernach ist nun 
u o = fi?), 
u 2 
f\n) 
i • 2 
• • • u n = 
f [n \x) 
1-2 ■ • ■ n 
und die endgiltige Form von (18*) lautet 
(19) f( x+ h)=f{x)+CM h + CM v+ ... + Jff¿)_ h . + ... t 
gütig so lange 
| x | < | X (, 1 h 1 < | X | — \ x\. 
Die Entwicklung (19) führt den Namen der Taylor'sehen 
Reihe für die Function f(x -f- h)^ ihre Ableitung erfolgte unter