Vierter Abschnitt. Reihen. 
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tung. Sind nämlich die Coefficienten a 07 a t , a 2f . . . complexe 
Zahlen, 
Cl n CC n [ ß,i i 
und existirt für 
a n 
l/ < + ßn 
a n + X 
} «2-M + ß+i 
bei lim n = -f- oo ein bestimmter Grenzwert 2, der eine 
positive reelle Zahl sein wird, so drückt die Convergenz- 
bedingung (83) 
x [ < A 
bei Zulassung complexer Werte von x aus, dass der Modul 
von X = I -f- rji, 
\Yi* + v *\<x 
sein müsse; der die Zahl x in der Zahlen ebene darstellende 
Punkt (6) hat also für den Fall der Convergenz innerhalb 
eines Kreises zu liegen, welcher mit dem Halbmesser X um den 
Ursprung 0 beschrieben wird. Diesen Kreis, welcher an die 
Stelle des Convergenzintervalls bei reellen Reihen getreten ist, 
bezeichnet man als den Convergenzkreis der Potenzreihe. Ist 
die Reihe beständig convergent, so erweitert sich der Kreis 
zur unbegrenzten Ebene, welche das Convergenzgebiet darstellt. 
§ 3. Die Formeln und Reihen von Taylor und Maelaurin. 
90. Es ist gezeigt worden (87), dass eine Function f(x\ 
welche als Grenzwert einer convergenten Potenzreihe definirt 
ist, für das Argument x -\- h, sofern x sowohl als x -f- h dem 
Convergenzintervalle angehören, in eine nach positiven ganzen 
Potenzen von h fortschreitende Reihe entwickelt werden kann; 
die bezügliche Entwicklung erhielt dort den Namen Taylor- 
sche Beihe. 
Nun sei f{x) eine beliebige Function von x } von der wir 
voraussetzen, dass sie in einem Intervalle (a, ß) eindeutig und 
stetig sei und Differentialquotienten bis zur (n—l)-ten Ord 
nung einschliesslich zulasse, welche ebenfalls stetige Functionen 
seien. Wir stellen uns die Aufgabe, den Fehler zu bestimmen, 
welcher begangen wird, wenn man für fix -f- h) die auf die