Vierter Abschnitt. Reihen. 
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woraus 
/'(> + Ä) — /■(«) = hfix + ÖÄ), 
und dies ist der Ausdruck für den Mittelwertsatz (37, (2)). 
3) Bei den meisten Anwendungen ist h eine Grösse von 
sehr kleinem Betrage, ein nahe an Null liegender echter Bruch, 
dessen steigende Potenzen rasch abnehmend der Null sich 
nähern; zur näherungsweisen Berechnung von f(x -{- h) aus 
fix) und den Differentialquotienten genügen dann wenige 
Glieder von (6). Insbesondere lässt sich erweisen, dass h dem 
Betrage nach derart eingeschränkt werden kann, dass das Ver 
hältnis des Gliedes, bei welchem die Formel abbricht, zu dem 
darauffolgenden Restgliede dem absoluten Betrage nach eine 
beliebig grosse vorgeschriebene positive Zahl K überschreitet. 
In der That, soll 
f n ~ x \x) t 
- 1 — - 2 -— 
f n \x + Qh) hn 
sein, so braucht h nur so gewählt zu werden, dass 
|Ä|< 
n 
K 
f n \x + eh) 
und dies ist sicher erreicht, wenn man 
nimmt, wobei G den grössten Wert bezeichnet, welchen 
| f {n) (x -)- Qh) | in dem Intervalle (a, ß) erlangt. 
91. Die Function f(x) sei nun solcher Art, dass sie in 
dem Intervalle (a, ß) Differentialquotienten aller Ordnungen 
besitzt und dass diese ebenso wie f{x) selbst in dem genannten 
Intervalle stetig sind. Die unendliche Reihe 
m+* + oö &+• ■ • 
hat dann vermöge der Gleichung (6j den Grenzwert 
fix -J- h) — lim R n , 
M=-j-00 
d. h. sie hat nur dann einen bestimmten Grenzwert und ist 
somit convergent, wenn lim R n eine bestimmte Grösse A be- 
n~-\- oo