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Erster Th eil. Differential-Rechnung. 
deutet, und zwar ist ihr Grenzwert dann f{x -f- h) — A; er ist 
insbesondere f(x -f- h) selbst, wenn A = 0, d. b. wenn 
(9) lim R n — 0. 
n = -f- 00 
Dann also ist 
(10) /•(» + *) = /-(*) + ®Ä + + 
die Function f(x) also ebenso wie der Grenzwert einer nach 
x fortschreitenden Potenzreibe in die Taylor’sche Reihe ent 
wickelbar. 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
eine stetige Function f(x) in die Taylor’sche Reihe entwickelbar 
sei, besteht in der Existenz und Stetigkeit der Bifferentialquotien- 
ten aller Ordnungen und in der Convergenz des Restgliedes R n 
gegen die Grenze Null bei beständig wachsendem n. 
Die Untersuchung des Restgliedes gestaltet sieb am ein 
fachsten bei Functionen, für welche f^(z) bei jedem n eine 
endliche Grösse, wenigstens in dem Intervalle (x, x -f- h), be 
deutet; denn alsdann bängt es laut (7) nur von dem Ausdruck 
h n 
1-2 • • n 
ab, ob R n für lim n — -f- oo den Grenzwert Null hat; dieser 
Ausdruck convergirt aber für jedes endliche h gegen die Grenze 
Null, somit auch R n . Schreibt man nämlich das unendliche 
Product, in welches der Ausdruck bei dem Grenzübergange 
sich verwandelt, in der Form (1 — «i)(l — a 2 )(l— a 3 )..., d. i. 
so ist a n > 0, sobald n > h, und die Reihe 
n — Ji , w -(- 1 — Ä , w -j- 2 — h 
n ' n -{- 1 ‘ n 2 ' 
divergent, weil 
i_ J - J 1 
n ' n -f- 1 n -\- 2 1 
divergent ist (72, 1)) und die Zähler überdies beständig wachsen; 
infolge dessen divergirt auch das unendliche Product gegen 
die Grenze Null (77, 2)). 
Die Gleichung (10) gestattet, die Änderung f(x -f- li) — fix) 
= Afix), welche die Function bei dem Übergänge von der