Vierter Abschnitt. Reihen. 
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94. JExponentialreihen. Die natürliche Potenz e x ist eine 
Function, deren n-ter Differentialquotient für jedes n— 1, 2, • • • 
ihr selbst gleichkommt (40, 3)), mit ihr zugleich stetig bleibt 
für jeden endlichen Wert von x und für x = 0 den Wert 1 
annimmt. Da ferner das Restglied 
( 16 ) 
bei jedem endlichen Werte von x mit wachsendem n gegen 
Null convergirt (9l), so gilt für jedes x der Ansatz 
(17) e*=l +f + lA + '-- 
Setzt man x — 1, so ergibt sich eine unendliche Reihe 
zur Berechnung der Zahl e selbst (vgl. 30), nämlich 
(18) 
— 1 + T + lTi + 
Aus dieser Darstellung von e lässt sich die Stellung dieser 
Zahl im Bereiche der reellen Zahlen näher kennzeichnen. Zu 
nächst ist e keine rationale Zahl; bricht man nämlich bei dem 
(w-(-l)-ten Gliede ab, so ist der Rest 
1 , 1 
1 • 2 • • • (n -f- 1) 
l 
+ l 
1 . 2 • 
n 
2 •••(%-}- 2) 
(— L 1 
\« + l T 
+ 
< '' 1 • 2 ■ 
also jedenfalls 
+ 1 1 {n -f- 1 ){n -(- 2) ) 
in 4- 1 (n 4- l) 2 ) 1 • 2 ■ • • 
1 • 2 ■ • • n ■ n' 
(0 < 6 < 1) 
wäre nun e — ^ ein irreducibler rationaler Bruch, so folgte aus 
“ 1 + T + DA H I" 1 - 2 1 • a + m 
2 ■■■ q - q 
die weitere Gleichung 
* -1 
i 
DA 
q 1 1-2 1 • 2 ■ • • q 1-2 ■ ■ ■ q ■ q 
deren linke Seite, nachdem man mit 1-2 ■ ■ ■ q multiplicirt 
hat, eine ganze Zahl würde, während die rechte Seite weder 
Null, noch eine ganze Zahl sein kann. Dieser Widerspruch 
Czuber, Vorlesungen I. 14