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Erster Theil, Differential-Rechnung. 
von Herrnite auch gezeigt worden, dass es keine algebraische 
Gleichung irgend welchen Grades mit rationalen (also, wie 
man immer annehmen kann, ganzen) Coefficienten gibt, welche 
durch die Zahl e befriedigt würde*); man nennt Zahlen dieser 
Eigenschaft transcendente Zahlen, zu ihnen gehört also auch 
die Zahl e. 
Bringt man in der Gleichung (17) xl.a an die Stelle von 
x, unter a eine positive Zahl verstanden, so ergibt sich wegen 
e® *• a = a x die Entwicklung für die allgemeine Exponential- 
function 
(19) 
welche ebenfalls für jeden Wert von x Geltung hat. Aus 
diesem Ansätze folgt 
x*(l. a) 3 
1-2-3 
*) Früher schon hatte Liouville den Beweis hierfür in Bezug auf 
eine quadratische Gleichung geführt wie folgt; Wäre für a, ß, y als 
ganze Zahlen 
ae i -f- ße -f- y = 0, 
ae -\- ye— 1 —|— (3 == 0, 
also auch 
so hätte man nach Einsetzung der für e und e~ x aus (17) und (16) ge 
bildeten Werte 
0, 0' bedeuten positive echte Brüche. Multiplicirt man diese Gleichung 
mit 1 • 2 • • • {n — 1), so nimmt sie im Wesentlichen die Gestalt 
ae 0 + (— l)”ye~ e ' 
n 
an, wobei [i eine ganze Zahl darstellt; a kann immer als positiv vor 
ausgesetzt und n so gewählt werden, dass auch (— l)”y positiv und die 
linke Seite ein beliebig kleiner positiver echter Bruch ist. Hierin liegt 
ein Widerspruch, der seinen Grund in der Annahme hat, es könnte 
ae 4 -j- ße + y = 0 sein.