214 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
durch Subtraction; dadurch entsteht (70, 2)) 
1 -4— OC 
und hier kann 1 bei 0 < x < 1 jede noch so grosse die 
Einheit übertreffende Zahl, bei — 1 < x < 0 jeden positiven 
echten Bruch vorstellen. Setzt man 
1 x a -\- z 
1 — x a 
2a -f- z 
und die letzte Gleichung gibt 
insbesondere für z — 1 
Formel (25) gestattet mit Hilfe von l. a den Logarithmus 
jeder andern Zahl zu berechnen; (26) ist geeignet die natür 
lichen Logarithmen der aufeinander folgenden natürlichen Zahlen 
zu bestimmen; insbesondere gibt sie für a = 1 
1 
5 ■ 3® 
eine Reihe, die viel rascher convergirt als die oben für 1.2 
angegebene alternirende Reihe. Bei wirklicher Ausrechnung 
einer Logarithmentafel würde man selbstverständlich nur die 
Logarithmen der Primzahlen direct bestimmen und aus ihnen 
durch Addition die Logarithmen der zusammengesetzten Zahlen 
ableiten. 
Um aus den natürlichen Logarithmen die gemeinen zu 
gewinnen, bedarf es nur der Multiplication der ersteren mit 
dem Modul M = (30). Für 1.10 ergibt sich auf folgende 
Weise eine Bestimmung durch unendliche Reihen. Setzt man 
in (25)