Vierter Abschnitt. Reihen. 
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stimmen5 schreibt man sie in der allgemeinen Form a 0 -\- a x x 
+ H— •> so ist 
„ m(m — 1) - • • (m — n-\- 1) m(m — 1) ■ ■ ■ (m — n) 
n ~ 1-2 ■ ■ • n > «»+1 = “! . 2 • • ■ ( W + 1) > 
infolge dessen 
I 
lim = lim 
«=-f-oo | n=-\-& 
daher (— 1, —{— 1) das Convergenzintervall (83). Nur auf dieses 
braucht die Untersuchung des Restgliedes beschränkt zu wer 
den, das sich in den Formen 
K = m( ’ !, ~ 1 1 ) .v. (w ,r w — (i + e 
«. = (1 -e)-‘(i + ex)»-*« 
darstellen lässt. 
I. Ist (# | < 1, so zerlege man das Restglied in seiner 
zweiten Form in die Factoren 
I n + 1 ! 
| m — n 
(1 + 
/ 1 — e \n-i _ m(w- 1) • • ■ (m- n+1) 
\i + e«/ > 1 ■ 2 ■■■ (n — i) x 
der erste hängt von n nicht ab und hat einen endlichen Wert; 
der zweite convergirt gegen die Grenze Null, weil, gleichgiltig 
ob x positiv oder negativ, yj^x e * n ec ^ er Bruch ist; es bleibt 
also noch zu untersuchen, wie sich der Factor p n bei beständig 
wachsendem n verhält. Erhöht man in diesem Factor n um 
eine Einheit, so wird 
m — n 
Vn-\-1 = ~ xp n , 
also ist 
P n+i m — n 
—— = x; 
Pn n 
mit wachsendem n nähert sich die rechte Seite der Grenze 
— x; folglich muss sich zu einer positiven Zahl q, welche der 
Bedingung j x ( <C q < 1 genügt, ein Zeigerwert v bestimmen 
lassen derart, dass 
ist also 
Pn + l 
Pn 
< q, so lange n > v; infolge dessen