Vierter Abschnitt. Reihen. 
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der erste hat einen endlichen Wert, der zweite geht, vom 
Vorzeichen abgesehen, für lim n = -f- oo in das unendliche 
Product 
über, das gegen die Grenze Null divergirt, wenn 
(30) 
m > 0 
hingegen gegen -(-oo, wenn m negativ ist; nur in dem ersten 
Palle ist 
lim R n — 0 
und die Reihe 
nicht allein als convergent, sondern auch 0 als ihr Grenzwert 
erwiesen. 
Das Gesammtergebnis der Untersuchung lässt sich in fol 
gendem zusammenfassen: Die Binomialreihe 
-, , m . mim — 1) <> . 
1 + T ^+ --fT2~+ * '• 
ist für ( ¿e | < 1 hei jedem m convergent und (1 -j- x) m ihr 
Grenzwert; für x = 1 convergirt sie nur, wenn m dem Inter 
vall (—1, -f- oo) angehört, und 2 m ist ihr Grenzwert; für 
x= — 1 convergirt sie nur, wenn m dem Intervall (0, -J-oo) 
entnommen ist und hat den Grenzwert 0. 
Von der Binomialreihe wird im praktischen Rechnen 
bei der Ausziehung von Wurzeln Gebrauch gemacht. Um \/A 
zu berechnen, bestimme man die der Zahl A zunächstliegende 
p-te Potenz a p , so dass A — a p + a und a < oP; dann ist 
je kleiner —, um so rascher convergirt die Reihe. Um die 
a‘ 
Convergenz zu verstärken, kann man }/Ä in ~ywÄ um 
gestalten und dann die Entwicklung für }/k p A vornehmen.