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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
Ä ist um weniger als 2 Einheiten der niedrigsten Stelle zu 
gross, JB und ebenso G um weniger als eine Einheit zu gross 
oder zu klein; daher 8Ä—4JB— C um weniger als 21 Ein 
heiten und das 4fache davon um weniger als 84 Einheiten zu 
gross, so dass tc zwischen 3A41592 672 und ...588 liegt; auf 
6 Stellen ist daher 
ä = 3141 592. 
Der Beweis, dass die Zahl % ebenso wie die Zahl e eine 
transcendente Zahl ist (94), gelang erst in jüngster Zeit (Her- 
mite, Lindemann). Damit war auch dargethan, dass die 
Aufgabe der Verwandlung eines Kreises in ein gleich grosses 
Quadrat, die Quadratur des Zirkels, mit Lineal und Zirkel 
nicht gelöst werden könne. 
2) Zur Entwicklung der Function 
f(x) = arc sin x 
bedienen wir uns eines Verfahrens, von welchem auch in andern 
Fällen mit Erfolg Gebrauch gemacht werden kann. 
Wenn eine Entwicklung existirt, so hat sie die Form 
arc sin x = a ± x -f- a % x 2 -{- a 3 x 3 
weil arcsin 0 = 0 ist (33, 1)) und weiter gilt (87) 
beide Reihen haben denselben Convergenzbereich; andererseits 
ist auf Grund von 97 für x 2 < 1 
die beiden letzten Gleichungen haben zur nothwendigen Folge (88) 
a 2n = 0, (w = 1, 2,. . .); 
i • 3 
! '6 2 ■ 4 ? " 
1 -3 - • (2w— 1) 
2 • 4 • • • (2 w) 
•• (2w-f-l)a2M+i 
woraus 
1 ■ 3 • • ■ (2 w — l) 1 
2 • 4 • • • (2 n) 2w-f-l 
1 
1 1 
1-31 
a i — j, a 3 
Durch Einsetzung dieser Werte in die supponirte Reihe ergibt 
sich die Gleichung