Vierter Abschnitt. Reihen. 
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so ist 
(40) F^(s + QJs) = {~.Ji + ^kf f{x + 6h, y + Qk). 
Trägt man die Werte ans (87), (39) und (40) in (38) 
ein, so ergibt sich 
f{x + h, y + k) = f{x, y) + y(¿ h + fix, y) 
+ lh + ») + ■•■ 
f41) I . 1 /8, a ... 
+ i.2...(n-i)fe fe + a^^ A®,sO 
+ (¿ A *)’/■(*-Mä, </ + «)• 
Dies ist die Taylor’sehe Formel für die Function f(x, y). Die 
Bedingungen ihrer Giltigkeit fliessen aus denjenigen, welche 
für den Ansatz (38) gegolten haben, und aus (39), (40); es 
müssen die sämmtlichen partiellen Diiferentialquotienten der 
Function f(x,y) von der ersten bis zur n—1-ten Ordnung stetig 
sein in einem Intervalle auf M^(ß), welches die Werte x und 
x -\- h, y und y -j— k einschliesst, und auch die partiellen 
Diiferentialquotienten w-ter Ordnung müssen in diesem Inter 
valle vorhanden sein. 
Gehört die Stelle x — 0/y = 0 dem Gebiete P an, auf 
welchem die Function f(x, y) gegeben ist, so kann sie zum 
Ausgangspunkte der Entwicklung genommen werden; ersetzt 
man dann h, k, um sie als variable Grössen zu kennzeichnen, 
durch x, y, so geht die Formel (41) über in 
fi x > V) = fiPt °) + Y ifx X Jy °) 
+ + f(°>°)-i— 
2) 1 I 1 ( 8 I d V“ 1 fío 
+ i~2'r:.(n-r) \dx x + dVj y ) 
+ iTa'• • • n + h y ) nf ^ x ’ ey) > 
die Maclaurin’sehe Formel für f(x } y). 
Um keinen Zweifel über die Bedeutung der Glieder in 
(41) und (42) zu lassen, sei bemerkt, dass beispielsweise