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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
101. Es gelte als Grundsatz, dass die Potenz einer com- 
plexen Zahl begrifflich ebenso aufzufassen sei wie die Potenz 
einer reellen Zahl; wenn also n eine natürliche Zahl bedeutet, 
so sei auch bei complexem z 
z n — z • z • • • (w-mal), z~ n = —, = 1. 
v n z n ’ 
Es sei nun 
(1) z — x -j- iy = r(cos (p -f- i sin <p) ; 
dann ist 
0 2 = r(cos (f -f- i sin cp) • r(cos (p -f- i sin (p) 
— r 2 [cos 2 cp — sin 2 cp -f- 2i sin cp cos cp] 
= r 2 (cos 2 cp -f- i sin 2 cp), 
z‘ ä = r 2 (cos 2 cp -f- i sin 2 cp) r (cos cp -j- i sin 9p) 
= r 3 [cos 2 cp cos cp—sin 29p sin cp -f- i (sin 2 9p cos 9p -f- cos 2 9p sin 9p)] 
= r 3 (cos 89p -|- i sin 89p); 
die Allgemeingiltigkeit von 
(2) z n = r n ( cos ncp —{— i sin n cp) 
ergibt sich daraus, dass die Hinzufügung eines weiteren Factors 
z — r(cos cp i sin 9p) für z n + l dasselbe Bildungsgesetz liefert. 
Aus der Beziehung 
r(cos y |«li^) = T O os V~ iain v) = T[»os(~<p) + ism(-p)] 
ergibt sich 
^ (z~ n = r~ ra (cos (—W9P)-f-isin(—ncp)) 
\ =r n (cos ncp — i sin ncp) . 
Da r~ n , cos ncp, sinw9p einwertige Grössen darstellen, so 
sind die positive und die negative ganze Potenz einer complexen 
Variabein eindeutige Functionen derselben. 
Vergleicht man die Formeln (2), (3) mit den aus (1) 
unmittelbar hervorgehenden 
z n — r n (cos cp -j- i sin cp) n , ZT n = r~ n (cos cp -j- i sin cp)~ n , 
so ergibt sich 
(4) (cos cp -f- isin cp)- n = cos ( + ncp) -f- i sin (+ ncp), 
die Moivre’sche Binomialformel, zunächst gütig für jedes 
ganze n.