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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
_y 2 , y i 
12 ' 1 • 2 • 3 • 4 
yj j y 5 
1 • 2 • 3 ' 1 • 2 • 3 • 4 ■ 5 
beständig und absolut convergent; als solche sind sie in 95, 
(22) und (23), unmittelbar erkannt und cos y, respective sin y 
als ihre Grenzwerte erwiesen worden; mithin ist 
(12) e iy — cos y -j- i sin y 
und 
(13) ßX+iy — e x(c 0 s y _|_ i s i n ^) _ 
Die erste dieser beiden Formeln ist von Euler gefunden 
worden, der auch ihre Bedeutung für die Analysis gewürdigt 
hat. Formal gestattet sie, das Mo i vre’sehe Binom cos(p-j-i sin(p 
in Form einer natürlichen Potenz mit imaginärem Exponenten, 
e ic P, darzustellen. 
Für den besondern Wert y = 2 7t gibt Formel (12) 
e 27ti = i. 
daraus ergibt sich, dass bei jedem ganzzahligen x 
(14) ßX-\-iy-\-%y.jti __ gc-\-iy (^ni'y. __ ßX-\-iy 
Die natürliche Potenz e z ist demnach eine eindeutige periodische 
Function von z und 2ni der Modul der Periode (32). Ist z 
rein imaginär — iy, so ist vermöge (12) der Modul von e iy 
bei jedem Werte von y die Einheit; ist z complex =x-\- iy, 
so ist der Modul von e z auf Grund von (13) e*. 
Wegen der Periodicität von e z genügt es, um alle Werte 
der 
Function, deren sie fähig ist, zu erhalten, z ein Gebiet 
Mg. 17. 
r 
zuzuordnen, das dem x das Intervall 
(—oo, -j- oo), dem y das Intervall 
(0, 2n) zuweist, also einen Streifen 
der Ebene, welcher von der x-Axe 
und einer zu ihr parallelen Geraden 
im Abstande 2jr begrenzt wird, Fig. 17. 
Zerlegt man die ganze Ebene in Streifen 
dieser Richtung und Breite, so wieder 
holen sich die Werte von e z , welche aus dem erstgenannten 
Streifen entspringen, in jedem anderen derart, dass e z = 
wenn zz 11 YY, zz = 2 tc oder ein positives oder negatives 
x- 
't.ii 
2Jli 
\*‘ 
\z 
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0 
Y