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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
bezeichnet also Are tg ~ jenen einzigen Bogen aus dem Inter 
valle (0, 2jt), dessen Tangens den Wert ~ bat und dessen 
Cosinus, Sinus beziehungsweise mit x, y dem Zeichen nach 
übereinstimmen, so ist 
v = Are tg|- + 2k%, 
wobei k jede positive und negative ganze Zahl mit Einschluss 
der Null bedeuten kann. 
Nachdem so die Elemente von w durch jene von z dar 
gestellt sind, hat man 
(16) L. (x -f- iy) — l.1 ~]/x 2 "+ y 2 1 + i Are tg ~ -f- 2k n i. 
Der natürliche Logarithmus einer complexen Variabein ist dem 
nach eine unendlich vieldeutige Function, und aus einem seiner 
Werte ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines 
entsprechenden Vielfachen von 2ni. 
Dieses Verhalten ist die nothwendige Folge der Perio- 
dicität der natürlichen Potenz, aus welcher der natürliche 
Logarithmus durch Umkehrung hervorgeht (33). 
Weil die complexe Variable auch die reelle und die rein 
imaginäre umfasst, so gilt der eben ausgesprochene Satz auch 
für diese. 
Ist y — 0, so ist Are tg ~ entweder = 0 oder = %, 
jenachdem £ > 0 oder #<0; man hat also 
für # > 0 L. x — l. x 2 %ni 
für x < 0 L. x = 1.1 x | -f- (2x -)- l)ni. 
Die erste dieser Formeln zeigt, dass sich unter den un 
endlich vielen Werten des natürlichen Logarithmus einer posi 
tiven reellen Zahl ein einziger reeller Wert befindet, ent 
sprechend k — 0; dieser ist es, den man mit l.x bezeichnet. 
Aus der zweiten Formel geht hervor, dass die Werte des 
Logarithmus einer negativen reellen Zahl wie die einer com 
plexen Zahl sämmtlich imaginär sind. 
Es mag noch die einfache Gestalt der Formel (16) 
an-