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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
COS IX = 
+ « 
(18) 
. e 
i — 
\ 2 
so dass der Cosinus einer rein imaginären Yariabeln reell, der 
Sinus rein imaginär ist. 
Ist z complex = x -f- iy, so hat man aus (17) 
cos ix -|- iy) 
e ix - e- y +e~ ix - e y _ (e ix + e~ 1 x ){e y + e~ y )- {d x — er 1 x ){e y — e~ y ) 
2 4 
sin (x -f- iy) 
- e ix .e~ y -e~ ix .e y _ (e ix -e~ ix ) (e y -\-e~ y ) - (e ix + e~ ix ) {e y —e~ y ) . 
2 i 4 i ’ 
mit Beachtung der Formeln (15) und (18) gibt dies 
cos(x -j- iy) — cos x cos iy — sinx sin iy 
sin(x -j- iy) = sin x cos iy -j- cos x sin iy, 
Formeln, welche völlig dem für reelle Bögen geltenden Addi 
tionstheorem entsprechen; andererseits ist, wieder mit Benützung 
von (18), 
cos (x -j- iy) — cos x 
sin (x -f- iy) = sin x 
e y -f- e~ 
% sin x - 
-f- i COS ir 
rig. 18. 
2 1 2 ’ 
eine Darstellung, in welcher Cosinus und Sinus einer com- 
plexen Yariabeln wieder als complexe Grössen dargestellt sind. 
Der Cosinus und der Sinus einer complexen Variahein sind 
demnach eindeutige periodische Functionen mit dem Modul 2jt. 
Wegen der Periodicität genügt es, 
um den ganzen Yerlauf dieser Func 
tionen kennen zu lernen, dem z als 
Gebiet einen Streifen der Ebene zuzu 
weisen, welcher von der y- Axe und 
einer zu ihr parallelen Geraden im Ab- 
' x stände 2% begrenzt ist, Fig. 18. Theilt 
man die ganze Ebene in Streifen dieser 
Richtung und Breite, so wiederholen 
sich in jedem derselben die Werte aus 
1 
X 
z' 
0 
o 
/T '/ 
7C 
Y