Vierter Abschnitt. Reihen. 
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dem erstgedachten Streifen derart, dass cos/ = cos#, sin/ 
= sin z 7 wenn zz 11 XX' und zz = 2% oder einem Vielfachen 
davon. 
106. Als Arcustangens einer complexen Variaheln z=x-j- iy 
werde jede complexe Zahl w = u -f- iv bezeichnet, die der Be 
dingung 
t gw — z 
genügt. Mit Benutzung der Gleichungen (17) führt dies zu 
der Gleichung 
1 e i 
+ e 
aus welcher zunächst 
und weiter 
— 1 
= iz 
+ i 
1 + iz 
l-y-l —|— i Z 
w — —.L. . 
2г 1 — iz 
1 — iz 
folgt, so dass sich für w die Bestimmung 
Are tg z 
ergibt; dadurch ist die Lösung der Aufgabe auf die Bestim 
mung des natürlichen Logarithmus einer complexen Variaheln 
zurückgeführt, die in 104 erledigt worden ist. Es ist 
1 + iz 1 — y -\- ix 1 — X 2 — y* . 2x 
1 — iz 1+2/ — £C 3 + (1 + yY ' X* + (1 + yY % ’ 
der Modul hiervon die positive Quadratwurzel aus 
(l — x 2 — i/ 2 ) 2 + 4« 2 (1 + a; 2 + y*Y — 4+ _ x 2 + (1 — yY 
{®» + (l + y)«}‘ = |* a + (l + 2/)*} 2 = ~ 
daraus ergibt sich auf Grund von 104, (16) 
L \ +++ ** + (1 ~ y> *- 1 - 
und hiermit 
x 2 + {i + yY y 
1 ? £C 2 + (1 —— yY \ • A j IO 
¥ L» + (1 + »)« + 8 Arct S 1 - s. - y. + 2 ** 1 
Are tg (x + iy) 
(I 9 ) j— * I a;2 + ( 1 + ^) 2 | 1 Arctg 
( 4 L x * _j_ (1 _ yY I 2 A c 1 
2x 
ktc : 
2x 
dabei ist unter Arctg» 1 _ ^ 8 jener Bogen aus dem Intervalle 
2x 
(0, 27t) zu verstehen, dessen Tangens ——* j, ist und dessen 
1 x y