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Erster Theil. Differential-Rechnung’. 
Sinns, Cosinus im Vorzeichen mit 2x, 1 — x 2 — y 2 respective 
übereinstimmen. 
Der Arcustangens einer complexen Variabein ist demnach 
eine unendlich vieldeutige Function; aus einem seiner Werte 
ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines ent 
sprechenden Vielfachen von 7t. 
Die anderen cyclometrischen Functionen führen ebenfalls 
auf den natürlichen Logarithmus zurück. Auch wenn w eine 
complexe Zahl ist, gilt vermöge (17) die Gleichung 
e iw _ cos w _J_ l gi n w > 
woraus w = X L. (cos w -j- i sin w); 
setzt man nun einmal sin w — z, ein zweitesmal cos w — z, so 
ergibt sich im ersten Falle 
Are sin z = X L. (y 1 — z 2 -f- iz), 
im zweiten Falle 
Are cos z = X- L.(z i ]/l — z 2 ), 
die Wurzel beidemal als zweideutige Grösse aufgefasst. Die 
Ausführung dieser Formeln in den Variabeln x, y soll unter 
bleiben. Nur einige Bemerkungen mögen noch angefügt werden. 
Ist z reell und dem Betrage nach kleiner als 1, so ist auch 
Y1 — z 2 reell und der Modul von ]/1 
der von z -f- i ]/T 
z 2 -f- iz, ebenso wie 
z 2 gleich 1; infolge dessen entfallt ver 
möge 104, (16) der logarithmische Theil und es bleibt ein 
reeller Bogen bestehen. Wenn hingegen z reell und dem Be 
trage nach grösser ist als 1, dann ist ]/1 — z 2 imaginär und 
der Modul von ]/l 
z 2 -|- iz gleich 
von z -f- iy 1 — z 2 = z — yz 2 — 1 gleich 
man hat also auf Grund von 104, (16) 
Are sin z = X1.1 z -j- yz 2 — 11 -j- 
Z -|- yz 2 
z 
jener 
yz 2 — 1 
Are cos z 
i.\z — y? — i 
-j- 2xtc . 
Daraus ergibt sich die für reelle z, welche absolut genommen 
kleiner sind als 1, aus den Elementen schon bekannte Formel 
Are sin z -f- Are cos z — y -f- 2x%.