Vierter Abschnitt. Reihen. 
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§ 5. Die unbestimmten Formen. 
107. Wenn eine Function f(x) der stetigen Yariabeln x 
für ein Intervall (a, ß) eindeutig definirt und in diesem Inter 
valle stetig ist, mit Ausnahme einer einzigen Stelle x =='a, 
welche innerhalb (a, ß) liegt oder mit einer der Grenzen zu 
sammenfällt und an welcher die Definition ihre Geltung ver 
liert, so stellt sich die Aufgabe ein, das Verhalten der Function 
in der Umgebung dieser kritischen Stelle zu untersuchen. Diese 
Aufgabe erhält einen bestimmten Ausdruck in der Forderung: 
den Grenzwert von f(x) zu suchen für einen näher bezeich 
nten, aber stetigen Grenzübergang lim x = a (18). 
Die Function f{x) erscheint an einer solchen Stelle x = a 
in einer sogenannten unbestimmten Form und nach dieser Form 
richtet sich das einzuschlagende Verfahren. Welches diese 
Form aber auch sei, so bezeichnet man den Grenzwert lim/'(ir), 
x =a . 
wenn ein solcher existirt, als den wahren Wert der unbe 
stimmten Form und ergänzt die an der Stelle x = a unter 
brochene Definition der Function dadurch, dass man diesen 
Grenzwert als ihren Wert an dieser Stelle festsetzt, also 
(1) /•(«) = lim f(x) 
x =a 
annimmt; dies geschieht auch dann, wenn der gedachte Grenz 
wert -f- oq oder — oo ist. Die Ergänzung erfolgt also, sofern 
der Grenzwert ein endlicher ist, nach dem Grundsätze, dass 
die im Intervalle (a, ß) mit Ausschluss von a herrschende 
Stetigkeit auch für x = a fortbestehen bleibt. 
Unter den unbestimmten Formen ist es eine, auf welche 
die übrigen sich zurückführen lassen; sie hat folgende Ent 
stehung. 
Es sei f{x) = eine gebrochene Function, deren Zähler 
und Nenner in dem Intervalle (a, ß) stetig sind und an der 
Stelle x = a zugleich verschwinden; dann nimmt der Ausdruck 
der Function die Form — an. 
0 
Da cp fa) und 7p (x) für lim x = a unendlich klein werden, 
so hängt der Grenzwert ihres Quotienten von der Ordnung 
des Unendlichkleinwerdens jeder einzelnen ab (16). 
Czube r, Vorlesungen. I. 16