Vierter Abschnitt. Reihen. 
2) Die Differenz f{x) — 
unbestimmt*, es ist 
T /»/ \ v X 2 — sin 2 a? ,. 
hm fix) = lim 9 ■■■■■ ,— = lim 
/ \ / rp 6 alT1 4 rp 
1 
sin 2 X 
wird bei lim x — 0 
2x — sin 2x 
— lim 
= lim 
2x sin 2 x -f- x 2 sin 2x 
2 — 2 cos 2 x 
2 sin 2 x -f- ix sin 2x -f- 2 a? 2 cos 2 a? 
4 sin 2 x 
6 sin 2a? 12a? cos 2a; — 4a? 2 sin 2x 
8 cos 2 a? 
24 cos 2 a? — 32 a; sin2a; — 8 a? 2 cos 2 a?, 
dreimal wiederholt sich die Form y und erst der Quotient 
aus den vierten Differentialquotienten führt zu dem Grenzwerte. 
111. Eine Function von der Gestalt 
f(x) = cp {xyP (tp (x) > 0) 
Tiann zu drei weiteren unbestimmten Formen Anlass bieten; sie 
nimmt nämlich, wenn bei einem bestimmten Grenzübergange 
lim x = a 
lim cp (x) — 0 
die Form 0°; ferner wenn 
lim i/j (x) = 0 
lim ijj(x) = 0, 
lim cp (x) — oo 
die Form oo°; endlich wenn 
lim <p(x) = 1 lim i>(x) = oo, 
die Form 1“ an. Geht man aber von der Function selbst zu 
ihrem Logarithmus über: 
l. fix) = -0 (x) l. cp (x), 
so kommt man zu einem Ausdrucke, der in allen drei Fällen 
die bereits erledigte unbestimmte Form 0-oo annimmt; hat 
man seinen Grenzwert ermittelt und heisst derselbe A, so ist 
lim f(x) = e A . 
x—a 
Beispiele. 1) Der Logarithmus von fix) = x?, d. i. xl.x, 
hat für lim# = -f- 0 zufolge 109 den Grenzwert 0; mithin ist 
lim x x = 1. 
a:=-j-0