Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 271 
x 9 = 
a — h 
dem verlangten Maximum und liefert den Punkt P, zu dessen 
Construction B'B 1 = BB' zu macken und A mit B 1 zu ver 
binden ist; dieser Punkt ist also durch die Gleichheit der 
Winkel X'PÄ und X'PB charakterisirt. Die zweite Lösung 
ac 
X-> — ■ j t~ ? 
1 a -)- b 
welche auf den Schnittpunkt Q der Geraden AB mit XX' 
hinleitet, ist der gestellten Aufgabe fremd und bestimmt das 
Minimum von AP -f- PP; denn thatsächlich ist 
AP + PB S AB, 
daher AB der kleinste Wert von AP -f- PB, welcher eintritt, 
wenn P mit Q zusammenfällt. 
Geometrisch löst sich die gestellte Aufgabe durch folgende 
Betrachtung, Der Ort der Punkte P, für welche die Differenz 
AP—BP einen bestimmten constanten Wert d hat, ist eine 
Hyperbel mit den Brennpunkten A, B und der reellen Axe d; 
diejenige unter diesen confocalen Hyperbeln, welche die Ge 
rade XX berührt, hat unter denen, die mit dieser Geraden 
reelle Punkte gemein haben, die grösste reelle Axe; ihr Be 
rührungspunkt bestimmt also die Lösung der Aufgabe und 
liegt nach einer bekannten Eigenschaft der Hyperbel so, dass 
L X'PA = L X'PB. 
8) Es sind zwei Punkte A, B und eine sie trennende 
Ebene MM' gegeben, Fig. 23. Man soll den Weg von A nach 
B bestimmen, welchen ein Beweg 
liches in der kürzesten Zeit zurück 
legt, wenn es sich von A bis zur 
Ebene mit der Geschwindigkeit u 
und von da ab bis B mit der Ge 
schwindigkeit v bewegt. 
Der Weg wird sich nothwendig 
aus zwei geradlinigen Strecken zu 
sammensetzen und bestimmt sein, sobald man den Punkt P 
der Ebene kennt, über welchen er führt. Von diesem lässt 
sich ferner erweisen, dass er in die Verbindungslinie der ortho 
gonalen Projectionen A', B' von A, B auf MM' fallen wird, 
Fig. 23. 
- A .N 
^05