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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
dass der Weg selbst also in der durch A, B zu MN gelegten 
Normalebene verläuft. Denn zu einem Wege wie AQB, der 
über einen Punkt Q ausser A'B' führt, lässt sich immer ein 
Weg finden, der in kürzerer Zeit zurückgelegt wird als AQB] 
man braucht nur QP senkrecht zu A'B' zu ziehen und 
erkennt sogleich, dass AP < AQ, BP <iBQ, dass also auch 
APB in kürzerer Zeit zurückgelegt wird als AQB. 
Ist AA'= a, BB'=l>, A'B'=c, A'P—x, so ist die 
für den Weg APB erforderliche Zeit 
, y« 2 + ¿c 2 . y& 2 (c — xy 
t —j 7 
und ihr kleinster Wert ergibt sich, wenn P so gewählt wird, dass 
dt x c — x ^ 
dx u]/a* -(- a; 2 «7 y£> 2 —)~ (c — a;) 2 
oder in den Linien der Figur ausgedrückt, dass 
1 A’P _ 1 PB' 
u AP v BP’ 
bezeichnet mau also die Winkel APN und BPN', welche die 
Wegtheile mit dem Lothe NN' zur Ebene einschliessen, mit 
cc, ß, so ist der verlangte Weg durch die Beziehung 
sin a u 
sin ß v 
gekennzeichnet, wornach das Sinusverhältnis der genannten 
Winkel gleich sein muss dem analog gebildeten Verhältnis 
der Geschwindigkeiten. (Refractionsgesetz.) 
117. Die bisher gepflogenen Untersuchungen über die Ex 
treme einer stetigen Function f(x) waren an die Voraussetzung 
geknüpft, dass die Function an jeder Stelle innerhalb des Inter 
valls (a, /3), für welches sie definirt ist, einen vollständigen 
Diiferentialquotienten besitzt. Aber auch bei anderem Ver 
halten der Function können sich extreme Werte einstellen. 
1) Angenommen, an einer Stelle a zwischen a und ß höre 
die Ableitung f(x) auf definirt zu sein; dagegen gebe es dort 
einen bestimmten rückwärts genommenen und ebenso einen 
bestimmten vorwärts genommenen Differentialquotienten (20), 
und die beiden seien ungleich bezeichnet; dann ist f(a) ein 
Maximum oder ein Minimum, jenachdem in der angegebenen