Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 273 
Ordnung der beiden Differentialqnotienten ein Übergang vom 
positiven zum negativen oder das umgekehrte stattfindet. 
Denn im ersten Falle ist 
f(fl + *) — f(fl) 
h ’ 
das für lim h — — 0 gegen eine positive Grenze convergili, 
für negative h, deren Betrag über eine angebbare Grenze nicht 
hinausreicht, positiv, folglich für solche h 
f{a + h) — f(a) < 0 ; 
derselbe Quotient, da er für lim h — -j- 0 gegen eine negative 
Grenze convergili, bleibt für positive h unter einem angeb- 
baren Betrage negativ, so dass für solche h 
f{a + Ä) — f(a) < 0 ; 
dadurch ist aber f(a) als Maximum erwiesen (112, (1)). 
Ähnlich gestaltet sich der Beweis im zweiten Falle. 
Der Übergang vom Wachsen ins Abnehmen oder umge 
kehrt äussert sich, wenn man f(x) durch die Ordinateli einer 
Curve darstellt, im vorliegenden Falle in solcher Weise, dass 
die Curve an der Übergangsstelle zwei verschiedene Tangenten 
aufweist (17, Fig. 4). 
Als Beispiel diene die Function 
f(x) = h +y(s — a)\ 
wo die Wurzel als positiv aufgefasst wird; diese Function be 
sitzt au jeder Stelle mit Ausnahme von x = a einen bestimm 
ten Differentialqnotienten 
f (X) = / 7 
]/(x — a) 2 
der negativ und = — 1 ist im Intervalle 
(—oo, a), positiv und = -f- 1 im Inter 
valle (a } + oo); an der Stelle a selbst 
ist der rückwärts genommene Differential- 
quotient — 1, der vorwärts genommene -f-1, 
daher ist f(a) — h ein Minimum. — Die 
Function f(x) ist geometrisch durch die 
Ordinaten der Schenkel des rechten Winkels LMN, Fig. 24, 
dargestellt, dessen Scheitel die Coordinaten (a, h) hat und dessen 
Schenkel gegen die Axen gleich geneigt sind. 
Czuber, Vorlesungen. I, 18 
Fig. 24. 
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