Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 279 
hinreichende und nothwendige Bedingung hiefür ist nämlich, 
dass an der Stelle a/b 
(6) 
ayay ( d*f y 0 
dx* dy 2 \dxdy/ ^ 
Dass diese Bedingung hinreichend ist, erkennt man so 
gleich; denn besteht sie, so ist der Ausdruck auf der rechten 
Seite von (5) für alle Richtungen positiv und hat somit 
beständig das nämliche Vorzeichen wie 
Dass die Bedingung auch nothwendig ist, ergibt sich auf 
folgende Art. Wäre 
gy ay / d'f y ^ 0 
dx 2 dy- \dxdy/ 
so Hessen sich sowohl Richtungen bezeichnen, für welche die 
rechte Seite von (5) positiv, als auch solche, für welche sie 
negativ ist; eine Richtung der ersten Art wäre diejenige, 
welche durch cos ^ = 0 (wozu cos cp = + 1 gehört) gekenn 
zeichnet ist; und Richtungen der anderen Art würden sich 
beispielsweise aus 
(?) 
ay 
dx 2 
cos cp -j- 
gy 
dx dy 
cos — 0 
ergeben. Bestünde endlich 
ay ay _ ay 
dx*dy 2 dxdy 
so hätte allerdings die rechte Seite von (5) für alle Rich 
tungen das positive Zeichen, jedoch mit Ausnahme derjenigen, 
die sich aus (7) ergeben, weil für solche der ganze Ausdruck 
d*f 
und somit verschwände, so dass für diese Richtungen eine 
Entscheidung nicht getroffen werden könnte. 
Auf Grund dieser Erörterung ergibt sich also der folgende 
Satz: An einer Steile a/h, an welcher die beiden ersten JDiffe- 
rentialquotienten tA > ( ,J- verschwinden, hat die Function f(x, y) 
sicher einen extremen Wert, wenn dort 
m