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Erster Theil. Differential - Eechnung. 
eine Wende- oder Inflexionstangente der Curve. Eine solche 
Tangente berührt und schneidet die Curve zugleich. Geometrisch 
ist sie dadurch gekennzeichnet, dass sie 
mit der Curve in M 0 drei vereinigt liegende 
Punkte gemein hat; der Sinn dieser Aus 
drucksweise gründet sich auf die Auffas 
sung der Tangente als Grenze einer um 
M 0 gedrehten Secante Fig. 60, 
wenn bei der Drehung die Punkte M\ M" 
unaufhörlich dem Punkte M 0 sich nähern (22, 2)). 
Die Beziehungen y 0 "= 0, y 0 '"^ 0 bedingen aber einen 
extremen Wert von d'= y — yf, also auch von y, weil y 0 ' 
constant ist; ist daher y 0 "'<. 0, so ist y<f ein Maximum, und 
ist y'"> 0, so bedeutet y 0 ' ein ,Minimum. Im Wendepunkte 
hat also der Eichtungscoefficient, somit auch der Neigungs 
winkel der Tangente gegen die positive X-Axe, einen extremen 
Wert. 
Um alle Fälle, die möglich sind, zu erschöpfen, nehmen 
wir nun an, dass an der Stelle x 0 alle Differentialquotienten 
von d bis zum (p—l)-ten einschliesslich verschwinden; von 
dem Vorzeichen des nächsten Differentialquotienten, von yff\ 
hängt nun das Verhalten der Curve in der Umgebung von Jlf 0 
ab wie folgt (115); 
Ist p gerad und >0, so ist d an der Stelle x = x 0 
ein Minimum, in einer angebbaren Umgebung von M 0 also 
y > Y, die Curve concav nach oben. 
Ist p gerad und yW < 0, so ist an der Stelle x — x 0 ein 
Maximum, in einer angebbaren Umgebung von M 0 also y<Y, 
die Curve concav nach unten. 
Ist p ungerad, so hat d an der Stelle x 0 keinen extremen 
Wert und ist der Punkt M 0 ein Wendepunkt. 
In diesen Sätzen sind die oben entwickelten Specialfälle 
p = 2 und p = 3 mit inbegriffen. 
Soll also eine Curve y = f(x) auf etwa vorhandene Wende 
punkte geprüft werden, so bilde man den zweiten Differential 
quotienten f"(x) und löse die Gleichung 
f{x) = 0