Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 353 
auf; sind Wendepunkte vorhanden, so befinden sich ihre Ab- 
scissen unter den Wurzeln dieser Gleichung; die weitere Ent 
scheidung hat auf Grund der obigen Sätze zu erfolgen. 
Weil ein Wendepunkt dadurch charakterisirt ist, dass für 
ihn y einen extremen Wert annimmt, so sind auch solche 
Stellen x in die Betrachtung einzubeziehen, an welchen y" 
unendlich wird; ändert y" bei Überschreitung einer solchen 
Stelle sein Vorzeichen, so ist an derselben y ein Extrem 
und hat die Curve einen Wendepunkt (117, 2)). 
Wenn die Curve durch die Gleichung 
f( x , y) = 0 
gegeben ist, so hat man mittels der Gleichungen (56) 
fx + fy y = ^ 
fx 2 + 2 fx y y' -\- fay 2 ~\- fyV = 0 
y" .zu bestimmen und erhält dafür den Ausdruck 
G(fyY ~ Vxyfjy + fy-ifxY 
y ~ (f,y 
die Coordinaten etwa vorhandener Wendepunkte sind dann 
unter den Wurzeln des Gleichungenpaares 
f(x, y) = 0, fxYfyf ~ Sfx'yfxfy + = 0 
zu suchen. 
Beispiele. 1) Die durch die Gleichung 
y = sin x 
dargestellte transcendente Curve heisst Sinuslinie. Vermöge 
der Periodicität des Sinus genügt es, ihren Verlauf in dem 
Intervalle (0, 2 7t) festzustellen. Aus dem Vorzeichen von 
y" = — sin x, 
das negativ ist in (0, n), positiv in (jt, 27t), folgt, dass im 
ersten Abschnitte die Curve concav nach unten, im zweiten 
Abschnitte concav nach oben ist; an den Stellen 0, 7t, 2tc 
findet ein Wechsel im Vorzeichen von y" statt, die betreffen 
den Punkte 0/0, 7t/0, 2tz/0 sind Wendepunkte und die Rich- 
tungscoefficienten der Tangente dortselbst sind 1, — 1, 1 
(Fig. 61). 
Czuber, Vorlesungen. I. 
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