Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 357 
sin («?o ~ «q) _ tg(<P 0 — «q) _ cotg e 0 _ 1 
p r o r 0 r 0 tg e 0 ' 
Wenn daher der zweite Differentialquotient 
£/r r 2 r"— 2rr' 2 | COS (qo— Of 0 ) 
0 — I - 
einen von Null verschiedenen Wert besitzt, so hat d an der 
Stelle cp = <jp 0 einen extremen Wert; es ist aber 
cos (cp — a 0 ) 1 
p r ’ 
daher 
r 2 + 2r' 2 — rr" 
Ist also r 0 > 0 und 
r o 2 + 2r o 2 — r o r o"> 0; 
so ist d an der Stelle cp = cp 0 ein Minimum, und weil es dort 
den Wert Null hat, so lässt sich eine Umgebung von cp 0 fest 
stellen, innerhalb deren d > 0, also — > 4- oder 
r <B, 
so dass die Punkte M der Curve näher liegen dem Pole als 
die correspondirenden Punkte Q der Tangente; man bezeichnet 
dann die Curve im Punkte M 0 als concav gegen den Pol. 
Ist dagegen r 0 > 0 und 
r 0 *+2r 0 '*— r 0 r 0 "< 0, 
so ist d ein Maximum für cp — cp 0 , und weil es hier den Wert 
Null hat, so ist es in einer entsprechend festgestellten Um 
gebung negativ, daher ~ ^ oder 
r > Pi, 
so dass die Curve in dieser Umgebung vom Pole weiter ent 
fernt ist als ihre Tangente; man bezeichnet sie dann in M 0 
als convex gegen den Pol. 
Umgekehrt verhält es sich, wenn r 0 < 0. 
Es bleibt noch der Fall 
r o 2 + 2,r o' 2 ~ r o r o"= 0 
übrig; tritt dieser ein und wechselt r 2 -f~ 2/ 2 — rr" bei dem 
Durchgänge durch cp 0 sein Vorzeichen, so ist der Punkt M 0