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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Kommt zu (1) und (2) die weitere Relation 
rw = <p"( x o) > 
so beginnt die Entwicklung von d mit dem Gliede dritter 
Ordnung, von dieser Ordnung ist also auch d und ändert dies 
mal innerhalb entsprechend enger Grenzen mit h zugleich sein 
Vorzeichen; die Curven haben daher zu beiden Seiten von M 0 
entgegengesetzte Lage gegen einander wie bei dem einfachen 
Schneiden. 
Um zu einem allgemeinen Ergebnis zu gelangen, nehmen 
wir an, dass die Differentialquotienten der Functionen f(x), cp (x) 
an der Stelle x 0 bis zur Ordnung n übereinstimmen, so dass 
weiter noch 
(5) rw = , • • • f [n) W = ; 
dann reducirt sich d auf den Ausdruck 
und ist eine Grösse der n-f- 1-tenOrdnung; denn, wofern/'(”+h (xj, 
cp' n +i}(x') in dem Intervalle (x 0 — h, x 0 -f- h) stetig verlaufen, 
convergirt das Verhältnis für lim h = 0 gegen die end 
liche von Null verschiedene Grenze 
[f(”+»(x 0 ) - y (w+1) (^o)] 1 . 2 .. 1 (n + 1) ’ 
Ist nun n ungerad, so ändert d sein Vorzeichen nicht, wenn 
h es ändert, die Curven haben also zu beiden Seiten von M 0 
gleiche Lage gegen einander; ist dagegen n gerad, so wechselt 
d mit h zugleich sein Vorzeichen, die Curven haben zu beiden 
Seiten von M 0 entgegengesetzte Lage gegen einander wie 
beim einfachen Schneiden. 
Sobald zu der Bedingung f(x 0 ) = <p(ir 0 ) noch jene (3) 
hinzutritt, haben die Curven in M 0 eine gemeinsame Tangente 
und man sagt, dass sie einander dort berühren. Der Grad oder 
die Innigkeit der Berührung hängt ab von den weiter hinzu 
tretenden Beziehungen. Man bezeichnet die Berührung als eine 
solche von der n-ten Ordnung, wenn d in Bezug auf h von der 
n -f- 1-ten Ordnung oder der Quotient ~ von der ersten Ord 
nung ist.