Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 363 
Auf Grund dieser Definition lässt sich der folgende Satz 
aussprechen: Die hinreichende und nothwendige Bedingung dafür, 
dass die Curven y = f(x) und y — <p{x) in einem Punkte von 
der Ähscisse x 0 eine Berührung n-ter Ordnung auf weisen, be 
steht darin, dass die Ordinaten und deren Differentialquotienten 
bis zur n-ten Ordnung einschliesslich an der Stelle x Q einander 
gleich sind. 
Die Bedingungen für eine Berührung n-ter Ordnung drücken 
sich also analytisch in den n -f- 1 Gleichungen 
ffo) = cp{x 0 ), f(x 0 ) = tp\xf) , fixo) = cp"{x 0 ) 
aus. 
Zu bemerken ist noch, dass mit einer Berührung von 
gerader Ordnung ein Schneiden der Curven verbunden ist, 
und dass das einfache Schneiden als eine Berührung der 0-ten 
Ordnung der Definition gemäss sich darstellt. 
143. Man kann der analytischen Definition einer Berüh 
rung w-ter Ordnung eine geometrische zur Seite stellen, zu 
welcher folgende Betrachtung führt. 
Die beiden Curven C, C' mögen ausser dem Punkte M 0 
noch n weitere Punkte M±, M 2 , . . . M n mit den (arithmetisch 
aufsteigenden) Abscissen Xi, x 2 ,. . . x n gemein haben, so dass 
fxf) = (f(xx) (A = 0,1,2,... n). 
(V 
Weil die Function fix) — cp ix) an den Grenzen eines jeden 
der Intervalle (x 0 , xf), (x t , xf), . . . x n ) verschwindet, 
so existirt innerhalb eines jeden dieser Intervalle eine Stelle 
xf, xf, . . . xff i beziehungsweise, an welcher auch ihr Difie- 
rentialquotient fix) — <p'(x) verschwindet (36), d. h. es ist 
f (4 1} ) =r fp'ixf) (A = 0,1,2,...n— 1). 
(8) 
Weil die Function f{x) — fif an den Grenzen eines 
jeden der Intervalle {xf, xf), {xf, xf),... (xff, xf—f) Null 
ist, so gibt es innerhalb eines jeden dieser Intervalle eine 
Stelle xf, xf, . . . xff beziehungsweise, an der ihr Diiferen- 
tialquotient f'(x) — f'f) verschwindet, so dass 
(9) 
f\x?) = q>'\xf) (A=0,1,2,,. ,n~2).