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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
in die Formeln (12) ein, so ergeben sieb als Parameter des 
Osculationskreises 
-f- b) 3 -f- b 
„ 6 (ax -(- b) s -(- 2 (ge — h 2 ) -f- 1 
p _ 
= [1 + 4:{ax -f 6) ä p 
2a 
Für den Punkt M als Punkt der Parabel ist, weil y"=2a, 
rrr r\ 
y =0; 
für denselben Punkt, als dem Osculationskreise angeborend, 
ergibt sieb der dritte Diiferentialquotient der Ordinate, indem 
man die zweite Gleichung (11) nochmals differentiirt und rj, 
7], r[' durch y : y 7 y" ersetzt, also aus der Gleichung 
%Y'+ Cy ~ ß)v"'=°; 
r(" hat demnach auch den Wert Null, wenn 
yy"= 4a(ax -f- b) = 0 
ist, also für x = 
Parabel (116, 2)) und nur hier findet demnach Superosculation 
statt, und die Parameter des bezüglichen Osculationskreises sind 
h „ 2(ac — & 2 ) + 1 . 1 
b № 
—, wofür y = c ; im Scheitel der 
a 7 * a * 
ß 
2a 
2a 
§5. 
Die Länge eines Curvenbogens und das 
Bogendifferential. 
147. Der Begriff der Länge eines Curvenbogens gründet 
sich auf die Vorstellung, dass es möglich sei, einem biegsamen 
nicht dehnbaren Faden die Form des Bogens zu geben und 
ihn dann auszuspannen; in diesem Zustande gestattet er die 
Vergleichung mit einer Längeneinheit, was zur Bestimmung 
seiner Länge führt; diese Länge wird auch als Länge des 
Bogens erklärt. 
Diese Vorstellung lässt sich aber nicht analytisch ver 
werten. Um daher den Begriff der analytischen Behandlung- 
zugänglich zu machen, bedarf er einer von jener Vorstellung- 
unabhängigen Definition, die aber nothwendig zu der allein