Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 369 
direct ausführbaren Messung gerader Linien zurückleiten muss. 
Wir formuliren diese Definition folgendermaassen: 
Ein Curvenbogen besitzt dann eine Länge, wenn die Länge 
eines von dem einen Endpunkte des Bogens zum anderen ver 
laufenden Sehnenzuges einem bestimmten Grenzwerte sich nähert, 
sobald die Zahl der Seiten dieses Zuges beständig wächst und 
jede einzelne Seite der Grenze Null zustrebt; dieser Grenzwert 
soll als Länge des Curvenbogens erklärt werden. 
Der Nachweis, dass der Grenzwert besteht, sobald gewisse 
Bedingungen erfüllt sind, fällt in das Gebiet der Integral 
rechnung. Wir nehmen für die Curven, welche wir in Betracht 
ziehen werden, diesen Grenzwert als vorhanden an. 
148. Es sei 
(1) V = f{ x ) 
die Gleichung einer gegebenen, auf rechtwinklige Coordinaten 
bezogenen Curve MC, Fig. 65; die Länge s des Bogens M 0 M, 
welcher von einem festen Punkte M 0 
und einem variablen Punkte M mit 
der Abscisse x begrenzt wird, ist eine 
eindeutige Function von x: 
(2) s = F(x) . 
Obwohl wir diese Function nicht 
kennen, sind wir im Stande, ihren 
Difierentialquotienten in Bezug auf x 
auf Grund der Gleichung der Curve zu bestimmen. 
Angenommen, der Abscisse x -f- h — OP' entspreche der 
Punkt M' der Curve und der Bogen MM'—Zs sei einförmig 
gekrümmt in dem Sinne, dass er seine concave Seite be 
ständig nach derselben Seite wendet. Construirt man in den 
Punkten M und M' die Tangenten MT und MT', so be 
grenzen diese mit der Sehne MM' ein Dreieck MM'Q, und 
nach einem Satze des Archimedes gilt 
MM' <Zs<MQ -f QM’- 
da ferner MQ -f- QM'< MR' R'M', so ist in verstärktem 
Maasse 
MM'< Zs < MR'+ R'M'. 
Czuber, Vorlesungen. I. 
Fig. G5. 
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