MM' = yMN 2 -f NM'* = yh*+{f(x + h) — f(x)}* 
= hyi +f\x + e 70 2 ; 
(3) MR' = MN • sec NMT = Ä ]/l -f f{xf; 
und weiter, wenn f(x) an der Stelle # auch, einen endlichen 
zweiten Diflferentialquotienten hat, 
R'M'= NM'— NR'= f{x + Ji) — fix) — MN • tg NMT 
= hf(x) + Y71 f"(x + hh) — hf'(x) = f\x + fth), 
wobei 0, unbestimmte positive echte Brüche bedeuten; durch 
Einsetzung dieser Ausdrücke verwandelt sich die obige Rela 
tion in 
(4) hyi+f{x+ÖKf<4s<hyi+f(ßf + f 1 f(x + »h), 
woraus 
yi+rO+eVi* < ~ < YT+ f(xf +1 f\x + »h). 
Unter der Voraussetzung, dass sich eine Umgebung von 
x angeben lässt, innerhalb welcher fix) stetig sich ändert, 
convergiren die beiden äusseren Ausdrücke für lim Ji = 0 gegen 
die gemeinsame Grenze ]/1 -f- fix) 2 , und dies ist auch der 
Grenzwert des eingeschlossenen Quotienten, also der Diflferen- 
tialquotient des Bogens in Bezug auf die Abscisse, so dass 
(5) ^ = l/i+TW- 
Die Quadratwurzel ist positiv zu nehmen, wenn die An 
ordnung so getroffen ist, dass der Bogen s mit der Abscisse x 
zugleich wächst und abnimmt. 
Durch Multiplication mit dx ergibt sich daraus das JBogen- 
differential in rechtwinkligen Coordinaten