Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 373 
und wenn man für sin & den Wert aus 130 (32) einträgt, 
(10) % =Vr r +7 1 . 
Daraus erhält man für das Bogendifferential in Polarcoor- 
dinaten den Ausdruck 
(11) ds = Yr 2 -f- r' 2 dcp, 
der auch in der Gestalt 
(12) ds =]/(r<7qp) 2 -f-f7r 2 
geschrieben werden kann. 
Die geometrische Bedeutung des Bogendifferentials aber 
ergibt sich am einfachsten aus der Formel (9), vermöge deren 
ds = -r—7: dcp 
ist; darnach ist das Bogendiiferential durch einen Kreisbogen 
vom Halbmesser , r - und vom Centriwinkel dcp darstellbar. 
Wenn man also OP senkrecht zur Tangente MT und MR 
senkrecht zum Radiusvector zieht und mit dem Halbmesser 
OE in den Winkel LOL' den Bogen SS' beschreibt, so ist 
ds = arc SS'. 
Fig. 67. 
§ 6. Krümmung ebener Curven. 
150. Eine Curve M 0 C, Fig. 67, sei auf ein rechtwinkliges 
Coordinatensystem bezogen. Für jeden Punkt M derselben ist 
nicht allein die Ordinate y — PJi, 
sondern auch der von einem festen 
Punkte M 0 an gezählte Bogen 
s = M 0 M wie auch der Winkel 
t, welchen die Tangente MT mit 
der positiven Richtung der Ab- 
scissenaxe einschliesst, als be 
kannte Function von x anzusehen; 
insbesondere ist 
(1) x — Arctg y, 
unter Arctg y' den aus dem Intervall (0, n) genommenen zur 
Tangens y' gehörigen Bogen verstanden. 
Wird x um zIx geändert, was dem Übergänge vom Punkte 
M zum Punkte M' entsprechen möge, so ändern sich s und